LEMNISCATA
Matemàtiques
Nun ordenador instálase un programa antivirus. A probabilidade de que o ordenador teña un virus detectable polo antivirus é de 0,2. Se o ordenador ten o virus, a probabilidade de que o antivirus o detecte é de 0,9. Se o ordenador non ten o virus, a probabilidade de que o antivirus dea unha mensaxe de existencia de virus é de 0,02.
a) Demostra que a probabilidade de que o antivirus detecte un virus (pode existir ou non) é 0,196.
b) Calcula a probabilidade de que o ordenador non teña virus e aparecese unha mensaxe de existencia de virus.
c) Calcula a probabilidade de que, se aparecese unha mensaxe de existencia de virus, o ordenador non teña virus.
d) Calcula a probabilidade de que o ordenador teña o virus e o antivirus non o detecte.
e) Calcula a probabilidade de que, se non apareceu ningunha mensaxe de existencia de virus, o ordenador teña o virus.
Para resolver estes problemas, usaremos as regras de probabilidade e o teorema de Bayes. Definimos os seguintes eventos:
Temos as seguintes probabilidades:
Queremos calcular ( P(D) ).
Usamos a regra da probabilidade total:
[ P(D) = P(D \cap V) + P(D \cap \neg V) ]
[ P(D \cap V) = P(D | V) \cdot P(V) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.18 ]
[ P(D \cap \neg V) = P(D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.02 \cdot 0.8 = 0.016 ]
[ P(D) = 0.18 + 0.016 = 0.196 ]
Polo tanto, a probabilidade de que o antivirus detecte un virus é 0.196.
Queremos calcular ( P(\neg V \cap D) ), xa a calculamos no apartado a):
[ P(\neg V \cap D) = 0.016 ]
Queremos calcular ( P(\neg V | D) ).
Usamos o teorema de Bayes:
[ P(\neg V | D) = \frac{P(D | \neg V) \cdot P(\neg V)}{P(D)} ]
Xa temos os valores:
[ P(\neg V | D) = \frac{0.02 \cdot 0.8}{0.196} = \frac{0.016}{0.196} \approx 0.0816 ]
Queremos calcular ( P(V \cap \neg D) ).
[ P(\neg D | V) = 1 – P(D | V) = 1 – 0.9 = 0.1 ]
[ P(V \cap \neg D) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02 ]
Queremos calcular ( P(V | \neg D) ).
Usamos o teorema de Bayes:
[ P(V | \neg D) = \frac{P(\neg D | V) \cdot P(V)}{P(\neg D)} ]
Calculamos ( P(\neg D) ) usando a regra da probabilidade total:
[ P(\neg D) = P(\neg D \cap V) + P(\neg D \cap \neg V) ]
[ P(\neg D \cap V) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02 ]
[ P(\neg D \cap \neg V) = P(\neg D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.98 \cdot 0.8 = 0.784 ]
[ P(\neg D) = 0.02 + 0.784 = 0.804 ]
Agora podemos calcular ( P(V | \neg D) ):
[ P(V | \neg D) = \frac{0.1 \cdot 0.2}{0.804} = \frac{0.02}{0.804} \approx 0.0249 ]
En resumo:
a) A probabilidade de que o antivirus detecte un virus é 0.196.
b) A probabilidade de que o ordenador non teña virus e aparecese unha mensaxe de existencia de virus é 0.016.
c) A probabilidade de que, se aparecese unha mensaxe de existencia de virus, o ordenador non teña virus é 0.0816.
d) A probabilidade de que o ordenador teña o virus e o antivirus non o detecte é 0.02.
e) A probabilidade de que, se non apareceu ningunha mensaxe de existencia de virus, o ordenador teña o virus é aproximadamente 0.0249.