LEMNISCATA
Matemàtiques
Ordenagailu batean antibirus programa bat instalatzen da. Ordenagailuak antibirusak detektatu dezakeen birusa izateko probabilitatea 0,2 da. Ordenagailuak birusa badu, antibirusak detektatzeko probabilitatea 0,9 da. Ordenagailuak birusa ez badu, antibirusak birus baten existentzia mezu bat emateko probabilitatea 0,02 da.
a) Demostratu antibirusak birus bat detektatzeko probabilitatea (egon daitekeena edo ez) 0,196 dela.
b) Kalkulatu ordenagailuak birusik ez izateko eta birusaren existentzia mezu bat agertu izateko probabilitatea.
c) Kalkulatu birusaren existentzia mezu bat agertu bada, ordenagailuak birusik ez izateko probabilitatea.
d) Kalkulatu ordenagailuak birusa izateko eta antibirusak ez detektatzeko probabilitatea.
e) Kalkulatu birusaren existentzia mezurik agertu ez bada, ordenagailuak birusa izateko probabilitatea.
Arazo hauek konpontzeko, probabilitatearen arauak eta Bayesen teorema erabiliko ditugu. Honako gertaerak definitzen ditugu:
Hurrengo probabilitateak ditugu:
( P(D) ) kalkulatu nahi dugu.
Probabilitate osoaren araua erabiliko dugu:
[ P(D) = P(D \cap V) + P(D \cap \neg V) ]
[ P(D \cap V) = P(D | V) \cdot P(V) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.18 ]
[ P(D \cap \neg V) = P(D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.02 \cdot 0.8 = 0.016 ]
[ P(D) = 0.18 + 0.016 = 0.196 ]
Beraz, antibirusak birus bat detektatzeko probabilitatea 0.196 da.
( P(\neg V \cap D) ) kalkulatu nahi dugu, eta hau a) atalean kalkulatu dugu:
[ P(\neg V \cap D) = 0.016 ]
( P(\neg V | D) ) kalkulatu nahi dugu.
Bayesen teorema erabiliko dugu:
[ P(\neg V | D) = \frac{P(D | \neg V) \cdot P(\neg V)}{P(D)} ]
Balioak ditugu:
[ P(\neg V | D) = \frac{0.02 \cdot 0.8}{0.196} = \frac{0.016}{0.196} \approx 0.0816 ]
( P(V \cap \neg D) ) kalkulatu nahi dugu.
[ P(\neg D | V) = 1 – P(D | V) = 1 – 0.9 = 0.1 ]
[ P(V \cap \neg D) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02 ]
( P(V | \neg D) ) kalkulatu nahi dugu.
Bayesen teorema erabiliko dugu:
[ P(V | \neg D) = \frac{P(\neg D | V) \cdot P(V)}{P(\neg D)} ]
Probabilitate osoaren araua erabiliz, ( P(\neg D) ) kalkulatuko dugu:
[ P(\neg D) = P(\neg D \cap V) + P(\neg D \cap \neg V) ]
[ P(\neg D \cap V) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02 ]
[ P(\neg D \cap \neg V) = P(\neg D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.98 \cdot 0.8 = 0.784 ]
[ P(\neg D) = 0.02 + 0.784 = 0.804 ]
Orain ( P(V | \neg D) ) kalkulatu dezakegu:
[ P(V | \neg D) = \frac{0.1 \cdot 0.2}{0.804} = \frac{0.02}{0.804} \approx 0.0249 ]
Laburbilduz:
a) Antibirusak birus bat detektatzeko probabilitatea 0.196 da.
b) Ordenagailuak birusik ez izateko eta birusaren existentzia mezu bat agertu izateko probabilitatea 0.016 da.
c) Birusaren existentzia mezu bat agertu bada, ordenagailuak birusik ez izateko probabilitatea 0.0816 da.
d) Ordenagailuak birusa izateko eta antibirusak ez detektatzeko probabilitatea 0.02 da.
e) Birusaren existentzia mezurik agertu ez bada, ordenagailuak birusa izateko probabilitatea gutxi gora behera 0.0249 da.