LEMNISCATA
Matemàtiques
Nun ordenador instálase un programa antivirus. La probabilidá de que l’ordenador tenga un virus detectable pol antivirus ye de 0,2. Si l’ordenador tien el virus, la probabilidá de que l’antivirus lo detecte ye de 0,9. Si l’ordenador nun tien el virus, la probabilidá de que l’antivirus dea un mensaxe d’esistencia de virus ye de 0,02.
a) Demostrái que la probabilidá de que l’antivirus detecte un virus (pue esistir o non) ye 0,196.
b) Calculái la probabilidá de que l’ordenador nun tenga virus y tea apaecío un mensaxe d’esistencia de virus.
c) Calculái la probabilidá de que, si tea apaecío un mensaxe d’esistencia de virus, l’ordenador nun tenga virus.
d) Calculái la probabilidá de que l’ordenador tenga el virus y l’antivirus nun lo detecte.
e) Calculái la probabilidá de que si nun tea apaecío nengún mensaxe d’esistencia de virus, l’ordenador tenga el virus.
Pa resolver estos problemes, vamos usar les regles de probabilidá y el teorema de Bayes. Definimos los siguientes suceos:
Tenemos les siguientes probabilidaes:
Queremos calcular ( P(D) ).
Usamos la regla de la probabilidá total:
[ P(D) = P(D \cap V) + P(D \cap \neg V) ]
[ P(D \cap V) = P(D | V) \cdot P(V) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.18 ]
[ P(D \cap \neg V) = P(D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.02 \cdot 0.8 = 0.016 ]
[ P(D) = 0.18 + 0.016 = 0.196 ]
Por tanto, la probabilidá de que l’antivirus detecte un virus ye 0.196.
Queremos calcular ( P(\neg V \cap D) ), ya la calculamos nel apartáu a):
[ P(\neg V \cap D) = 0.016 ]
Queremos calcular ( P(\neg V | D) ).
Usamos el teorema de Bayes:
[ P(\neg V | D) = \frac{P(D | \neg V) \cdot P(\neg V)}{P(D)} ]
Ya tenemos los valores:
[ P(\neg V | D) = \frac{0.02 \cdot 0.8}{0.196} = \frac{0.016}{0.196} \approx 0.0816 ]
Queremos calcular ( P(V \cap \neg D) ).
[ P(\neg D | V) = 1 – P(D | V) = 1 – 0.9 = 0.1 ]
[ P(V \cap \neg D) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02 ]
Queremos calcular ( P(V | \neg D) ).
Usamos el teorema de Bayes:
[ P(V | \neg D) = \frac{P(\neg D | V) \cdot P(V)}{P(\neg D)} ]
Calculamos ( P(\neg D) ) usando la regla de la probabilidá total:
[ P(\neg D) = P(\neg D \cap V) + P(\neg D \cap \neg V) ]
[ P(\neg D \cap V) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02 ]
[ P(\neg D \cap \neg V) = P(\neg D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.98 \cdot 0.8 = 0.784 ]
[ P(\neg D) = 0.02 + 0.784 = 0.804 ]
Agora podemos calcular ( P(V | \neg D) ):
[ P(V | \neg D) = \frac{0.1 \cdot 0.2}{0.804} = \frac{0.02}{0.804} \approx 0.0249 ]
En resume:
a) La probabilidá de que l’antivirus detecte un virus ye 0.196.
b) La probabilidá de que l’ordenador nun tenga virus y tea apaecío un mensaxe d’esistencia de virus ye 0.016.
c) La probabilidá de que, si tea apaecío un mensaxe d’esistencia de virus, l’ordenador nun tenga virus ye 0.0816.
d) La probabilidá de que l’ordenador tenga el virus y l’antivirus nun lo detecte ye 0.02.
e) La probabilidá de que si nun tea apaecío nengún mensaxe d’esistencia de virus, l’ordenador tenga el virus ye aproximadamente 0.0249.