Motocicleta elèctrica

Un prototip de motocicleta elèctrica integra el motor directament a la roda del darrere. En les condicions d’estudi, circulant per un terreny horitzontal i a una velocitat constant, el fabricant assegura que el motor subministra $P_{mot} = 15 \text{ kW}$ i un parell $\Gamma = 150 \text{ Nm}$ i té una autonomia màxima $s_{max} = 200 \text{ km}$. El diàmetre dels pneumàtics és $d = 630 \text{ mm}$, i s’estima que el motor té un rendiment $\eta_{mot} = 0.9$. La motocicleta utilitza bateries ideals. En aquestes condicions determineu:

1. La velocitat angular de la roda motriu $\omega_{roda}$ i la velocitat d’avanç $v$ de la motocicleta.
2. El temps màxim de funcionament $t_{max}$ i l’energia subministrada pel motor $E_{subm}$.
3. L’energia que caldria tenir emmagatzemada a les bateries.

Per calcular la velocitat angular de la roda motriu, podem utilitzar la relació entre la potència subministrada pel motor i el parell que aquest genera. En aquest cas, sabem que el motor subministra una potència de $P_{mot} = 15 \text{ kW}$ i un parell de $\Gamma = 150 \text{ Nm}$. El parell es relaciona amb la potència i la velocitat angular de la roda mitjançant la següent fórmula:

\begin{equation} P_{mot} = \Gamma \cdot \omega_{roda} \end{equation}

on $\omega_{roda}$ és la velocitat angular de la roda motriu. Podem reordenar aquesta fórmula per a $\omega_{roda}$:

\begin{equation} \omega_{roda} = \frac{P_{mot}}{\Gamma} \end{equation}

Substituïm els valors que tenim:

\begin{equation} \omega_{roda} = \frac{15 \text{ kW}}{150 \text{ Nm}} = 100 \text{ rad/s} \end{equation}

Per calcular la velocitat d’avanç $v$ de la motocicleta, podem utilitzar la relació entre la velocitat angular de la roda motriu i la velocitat d’avanç de la motocicleta. Així, tenim:

\begin{equation} v = \omega_{roda} \cdot \frac{d}{2} \end{equation}

on $d$ és el diàmetre dels pneumàtics. Substituïm els valors que tenim:

\begin{equation} v = 100 \text{ rad/s} \cdot \frac{630 \text{ mm}}{2} = 31.5 \text{ m/s} \end{equation}

Per tant, la velocitat angular de la roda motriu és de $100$ rad/s i la velocitat d’avanç de la motocicleta és de $31.5$ m/s.