Intensitat sonora petard

S’ha mesurat el nivell d’intensitat sonora a $2$ m d’un petard que explota i s’han obtingut $120$ dB, quin nivell d’intensitat sonora es mesurarà a $100$ m?

Podem utilitzar la llei de la disminució de l’intensitat sonora en funció de la distància per respondre a aquesta pregunta. Aquesta llei estableix que l’intensitat sonora disminueix a mesura que la distància augmenta i està relacionada amb la distància a través de la següent fórmula:

\begin{equation} I_2 = I_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \end{equation}

on $I_1$ és l’intensitat sonora a una distància $r_1$, $I_2$ és l’intensitat sonora a una distància $r_2$ i s’assumeix que la font sonora és puntual.

En aquest cas, sabem que l’intensitat sonora a $2$ m de distància és de $120$ dB. Per tant, podem expressar aquesta intensitat en termes d’una intensitat de referència $I_0$ de $10^{-12}$ W/m$^2$, que és el nivell d’intensitat sonora del so més feble que l’oïda humana pot percebre:

\begin{equation} 120 \text{ dB} = 10\log_{10}\left(\frac{I_1}{I_0}\right) \Rightarrow \frac{I_1}{I_0} = 10^{12} \Rightarrow I_1 = 10^{12} \cdot I_0 \end{equation}

Per calcular l’intensitat sonora a $100$ m de distància, podem utilitzar la fórmula (1) i obtenir:

\begin{equation} I_2 = I_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 10^{12}\cdot I_0 \left(\frac{2}{100}\right)^2 = 4 \cdot 10^{8} \cdot I_0 \end{equation}

Finalment, podem expressar aquesta intensitat en termes de decibels:

\begin{equation} \begin{aligned} \beta &= 10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_0}\right) \\ &= 10\log_{10}(4 \cdot 10^{8}) \\ &= 10\log_{10}(4) + 10\log_{10}(10^{8}) \\ &= 6 + 8 \cdot 10 \\ &= 86 \text{ dB} \end{aligned} \end{equation}

Per tant, el nivell d’intensitat sonora a $100$ m de distància serà de $86$ dB.