Introducció teòrica a la dinàmica de rotació

L’equació fonamental de la dinàmica de rotació d’un sòlid rígid és la que segueix:

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\tau_{ext}$$

on $\vec{L}$, és el denominat moment angular del sòlid, i $\tau_{ext}$ és l’anomenat moment de les forces externes que actuen sobre aquest sòlid.

El moment angular d’un sòlid rígid es calcula a partir de l’expressió:

$$\vec{L}=\sum_{i=1}^{N}{\vec{r}i\times{\vec{p}_i}}=\sum{i=1}^{N}{{m_i}\vec{{r}}_i\times{\vec{v}_i}}$$

on el sumatori s’estén a totes, i sense excepció, partícules que formen part del sòlid rígid. Aquest moment es pot escriure de manera elegant en una matriu quadrada de $3×3$ associada a la particular distribució geomètrica de la massa del cos que està sotmesa a la rotació aplicat sobre el vector velocitat angular. Aquesta matriu s’anomena tensor d’inèrcia.

$$\vec{L}=\tilde{I}\vec{\omega}$$

El nomenat anteriorment, tensor d’inèrcia, inclou els moments d’inèrcia respecte dels eixos de coordenades principals, és a dir: eix $x$, eix $y$ i eix $z$ en la seva diagonal principal i els productes d’inèrcia respecte als plànols $xy$, $yz$ i $zx$ fora de la diagonal principal.

La derivada temporal del moment angular és:

$$\dot{\vec{L}}=\frac{\vec{L}}{dt}=\frac{d\left(I\vec\omega\right)}{dt}=I\frac{d\vec\omega}{dt}=I\vec\alpha$$

on $L$ és l’acceleració angular i I és constant ja que, donat un sòlid rígid, la seva geometria no canvia. Dit en altres paraules la geometria d’un cos és una característica intrínseca de l’esmentat cos. Igualant les equacions (1) i (4), obtenim:

$$ I\vec\alpha=\vec\tau_{ext}$$

Es pot demostrar que per a cada sòlid rígid independentment de la forma geomètrica d’aquest sòlid rígid existeixen tres direccions perpendiculars entre si en les quals, si el sòlid rígid està rotant al voltant d’una de les direccions, el sue moment angular és paral·lel a l’eix de rotació . Aquests eixos tenen el curiós nom d’eixos principals d’inèrcia, i els moments d’inèrcia calculats respecte d’ells es denominen moments principals d’inèrcia (sembla obvi, no?). En aquesta situació, els productes d’inèrcia són iguals a zero, i si calculéssim el tensor d’inèrcia respecte dels eixos principals obtindríem una matriu diagonal (què bonica és l’àlgebra !!). Quan el cos té un eix de simetria, aquest eix és un dels eixos principals. Tots els eixos principals passen necessàriament pel centre de masses (CM) del sòlid rígid.

El moment de les forces externes ve donat per la següent equació:

$$\vec\tau_{ext}=\vec{r}\times\vec{F}$$

on $\vec{F}$ i $\vec{r}$ són la força aplicada i el braç d’aplicació, respectivament. Si aquestes dues magnituds són perpendiculars es pot calcular el mòdul de les forces externes com un simple producte, és a dir:

$$\left|\vec\tau_{ext}\right|=\left|\vec{r}\right|\cdot\left|\vec{F}\right|$$

si tenim en compte l’equació (5), obtindrem:

$$\left|\tilde{I}\vec\alpha\right|=\vec{r}\times\vec{F}$$

o bé, d’una altra manera:

$$\left|\frac{d\vec{L}}{dt}\right|=\left|\tilde{I}\vec\alpha\right|=\vec{r}\times\vec{F}$$

Quan un sòlid rígid està en rotació al voltant d’un dels seus eixos principals es pot substituir el tensor d’inèrcia $\tilde{I}$ pel moment d’inèrcia $I$ del sòlid respecte d’aquest eix principal. Així, en aquest particular cas, tenim:

$$\left|\frac{d\vec{L}}{dt}\right|=I\left|\vec\alpha\right|=\vec{r}\times\vec{F}$$

Aquesta última expressió ens permet trobar experimentalment el valor del moment d’inèrcia d’un sòlid rígid a partir de la força aplicada i del braç d’aplicació, si coneixem la seva acceleració angular.

Si sobre el sistema de rotació no hi ha cap moment de forces externes, llavors el moment angular serà constant. això vol dir que qualsevol modificació en el sistema que no ens porti a l’existència d’un moment extern, es farà de tal manera que el moment angular del sistema es conservi. És a dir, que si tenim un moment d’inèrcia $I$ abans de la possible modificació i tenim un moment d’inèrcia $I’$ després de la modificació, llavors:

$$L^{abans}=I\omega=L^{després}=I’\omega’$$

o bé reescrita d’aquesta altra manera:

$$\frac{I’}{I}=\frac{\omega}{\omega’}$$

Cal recordar que les unitats en el Sistema Internacional (SI) del moment angular, el moment de les forces i el moment d’inèrcia són $kg\cdot m^2/s$, $N\cdot m$ i el $kg\cdot m^2$, respectivament.