Camp gravitatori, potencial gravitatori i treball de dues masses

Dues masses idèntiques de $1000$ kg de massa, estan situades als punts $(0; -2)$ i $(0; 2)$. Totes les distàncies es donen en metres. a) Calcular i representar gràficament el vector camp gravitatori al punt $(2; 0)$, així com la força gravitatòria que experimenta una massa de $10$ kg situada en aquest punt. b) Calcular el potencial gravitatori als punts $(2; 0)$ i $(-4; 0)$ a causa de les dues masses de $1000$ kg. c) Calcular el treball realitzat pel camp gravitatori sobre una massa de $2$ kg quan es desplaça del punt $(2; 0)$ fins al punt $(-4; 0)$.

Dades del problema:

• Masses: Dues masses idèntiques de $m_1 = m_2 = 1000 \, \text{kg}$ estan situades als punts $(0, -2)$ i $(0, 2)$.
• Punts d’interès: $P_1(2, 0)$ i $P_2(-4, 0)$.
• Distàncies: Es donen en metres.

a) Càlcul i representació del camp gravitatori al punt $P_1(2, 0)$ i la força sobre una massa de $10$ kg

1. Camp gravitatori al punt $P_1(2, 0)$

El camp gravitatori $\vec{g}$ degut a una massa $m$ a una distància $r$ es calcula com:
$$\vec{g} = -G \frac{m}{r^2} \hat{r}$$
on $G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$.

Camp gravitatori degut a $m_1$ (situada en $(0, -2)$):

1. Distància entre $P_1(2, 0)$ i $m_1(0, -2)$:
   $$r_1 = \sqrt{(2 – 0)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, \text{m}$$
2. Mòdul del camp gravitatori creat per $m_1$:
   $$g_1 = G \frac{m_1}{r_1^2} = 6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{1000}{8} = 8,343 \times 10^{-9} \, \text{N/kg}$$
3. Direcció del camp gravitatori:
   El vector que apunta de $P_1(2, 0)$ a $m_1(0, -2)$ és $(-2, -2)$, i el vector unitari és:
   $$\hat{r}_1 = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$
   Així, el vector camp gravitatori és:
   $$\vec{g}_1 = 8,343 \times 10^{-9} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = (-5,898 \times 10^{-9}, -5,898 \times 10^{-9}) \, \text{N/kg}$$

Camp gravitatori degut a $m_2$ (situada en $(0, 2)$):

1. Distància entre $P_1(2, 0)$ i $m_2(0, 2)$:
   $$r_2 = 2\sqrt{2} \, \text{m}$$
   El camp serà idèntic en magnitud però amb una direcció diferent.
2. Direcció del camp gravitatori:
   El vector que apunta de $P_1(2, 0)$ a $m_2(0, 2)$ és $(-2, 2)$, i el vector unitari és:
   $$\hat{r}_2 = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$
   Així, el vector camp gravitatori és:
   $$\vec{g}_2 = (-5,898 \times 10^{-9}, 5,898 \times 10^{-9}) \, \text{N/kg}$$

Camp gravitatori total a $P_1(2, 0)$:

El camp gravitatori total és la suma vectorial dels dos camps:
$$\vec{g}_{total} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (-5,898 \times 10^{-9}, -5,898 \times 10^{-9}) + (-5,898 \times 10^{-9}, 5,898 \times 10^{-9}) = (-1,1796 \times 10^{-8}, 0) \, \text{N/kg}$$

2. Força gravitatòria sobre una massa de $10$ kg:

La força gravitatòria $\vec{F}$ sobre una massa $m = 10 \, \text{kg}$ en el punt $P_1(2, 0)$ es calcula com:
$$\vec{F} = m \vec{g}$$
$$\vec{F} = 10 \, \text{kg} \cdot (-1,1796 \times 10^{-8}, 0) \, \text{N/kg} = (-1,1796 \times 10^{-7}, 0) \, \text{N}$$
Així, la força és $-1,1796 \times 10^{-7} \, \text{N}$ en la direcció $x$ cap a l’esquerra.

b) Càlcul del potencial gravitatori als punts $P_1(2, 0)$ i $P_2(-4, 0)$

El potencial gravitatori $V$ degut a una massa $m$ a una distància $r$ es calcula com:
$$V = – G \frac{m}{r}$$
El potencial total és la suma dels potencials individuals.

Potencial al punt $P_1(2, 0)$:

1. Potencial degut a $m_1(0, -2)$:
   La distància és $r_1 = 2\sqrt{2} \, \text{m}$:
   $$V_1 = – G \frac{m_1}{r_1} = – 6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{1000}{2\sqrt{2}} = -2,358 \times 10^{-8} \, \text{J/kg}$$
2. Potencial degut a $m_2(0, 2)$:
   És idèntic, així que:
   $$V_2 = -2,358 \times 10^{-8} \, \text{J/kg}$$
3. Potencial total en $P_1(2, 0)$:
   $$V_{total}(P_1) = V_1 + V_2 = -4,716 \times 10^{-8} \, \text{J/kg}$$

Potencial al punt $P_2(-4, 0)$:

1. Potencial degut a $m_1(0, -2)$:
   La distància és $r_1 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \, \text{m}$:
   $$V_1 = – G \frac{m_1}{r_1} = – 6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{1000}{2\sqrt{5}} = -1,493 \times 10^{-8} \, \text{J/kg}$$
2. Potencial degut a $m_2(0, 2)$:
   És idèntic:
   $$V_2 = -1,493 \times 10^{-8} \, \text{J/kg}$$
3. Potencial total en $P_2(-4, 0)$:
   $$V_{total}(P_2) = V_1 + V_2 = -2,986 \times 10^{-8} \, \text{J/kg}$$

c) Treball realitzat pel camp gravitatori quan la massa es desplaça de $P_1(2, 0)$ a $P_2(-4, 0)$

El treball $W$ realitzat pel camp gravitatori es calcula com:
$$W = m \cdot \Delta V$$
on $\Delta V$ és la diferència de potencial gravitatori entre els punts inicial i final, i $m$ és la massa de l’objecte desplaçat.

1. Diferència de potencial entre $P_1(2, 0)$ i $P_2(-4, 0)$:
   $$\Delta V = V_{total}(P_2) – V_{total}(P_1) = (-2,986 \times 10^{-8}) – (-4,716 \times 10^{-8}) = 1,73 \times 10^{-8} \, \text{J/kg}$$
2. Treball sobre una massa de 2 kg:
   $$W = 2 \, \text{kg} \cdot 1,73 \times 10^{-8} \, \text{J/kg} = 3,46 \times 10^{-8} \, \text{J}$$

El treball realitzat pel camp gravitatori és $3,46 \times 10^{-8} \, \text{J}$.