Càlcul de la Mitjana i Mida Mostral per a un Interval de Confiança del 95%

S’ha obtingut que l’interval de confiança corresponent al $95\%$ d’una variable és $(6.66, 8.34)$. Calculeu la mitjana i la mida de la mostra que s’ha estudiat per obtenir l’interval, sabent que la desviació típica és igual a $3$. Expliqueu els passos realitzats per obtenir el resultat.

Dades proporcionades:

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 3

• Interval de confiança = (6.66, 8.34)

• Nivell de confiança = 95%, per tant, \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \)

• Valor crític (\( z_c \)): Com que \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \), tenim \( P(z \leq z_c) = 0.975 \), i per taules de la distribució normal estàndard, \( z_c = 1.96 \).

Pas 1: Calcular la mitjana mostral (\( \bar{x} \)): L’interval de confiança té la forma:\[\left( \bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]La mitjana mostral es troba al punt mitjà de l’interval:\[\bar{x} = \frac{6.66 + 8.34}{2} = \frac{15}{2} = 7.5\]Per tant, la mitjana mostral és 7.5.

Pas 2: Calcular el marge d’error (\( E \)): El marge d’error es pot obtenir restant la mitjana al límit superior de l’interval:\[E = 8.34 – 7.5 = 0.84\]

Pas 3: Calcular la mida de la mostra (\( n \)): El marge d’error també es defineix com:\[E = z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Substituïm els valors coneguts (\( E = 0.84 \), \( z_c = 1.96 \), \( \sigma = 3 \)):\[0.84 = 1.96 \cdot \frac{3}{\sqrt{n}}\]Aïllem \( \sqrt{n} \):\[\frac{3}{\sqrt{n}} = \frac{0.84}{1.96}\]\[\frac{3}{\sqrt{n}} \approx 0.428571\]\[\sqrt{n} = \frac{3}{0.428571} \approx 7\]\[n = 7^2 = 49\]Per tant, la mida de la mostra és 49.

Solució final:

• La mitjana mostral és 7.5.

• La mida de la mostra és 49 per a aquest interval de confiança amb un nivell de confiança del 95%.