Càlcul de Probabilitats i Intervals de Confiança per a l’Estació AVE

a) Siguin $A$ i $B$ dos successos independents, tals que $P(A) = 0,3$ i $P(A \cap B) = 0,12$ i) Calcular $P(B)$ ii) Calcular $P(A \cup B)$ iii) Calcular $P(\overline{A} \cap \overline{B})$.

b) En una estació del AVE, el temps que tarda un viatger per accedir al tren des que arriba al control d’equipatges segueix una distribució normal de mitjana desconeguda i desviació típica de $2$ minuts. Es va prendre una mostra aleatòria de $50$ viatgers, i es va observar que el temps mitjà d’espera era de 16 minuts. Troba un interval de confiança per a la mitjana poblacional del temps d’espera de la maleta en aquest aeroport amb un nivell de confiança del $90\%$

a)

i. Com són independents: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{0,12}{0,3} = 0,4$$

ii.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0,3 + 0,4 – 0,12 = 0,58$$

iii. $$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 – P(A \cup B) = 1 – 0,58 = 0,42$$

b)
\begin{equation}
\text{IC}_{90\%} = \left( \overline{X} – z{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , \overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
\end{equation}
\begin{equation}
\text{Substituïm els valors: } \text{IC}_{90\%} = \left( 16 – 1,645 \frac{2}{\sqrt{50}} , 16 + 1,645 \frac{2}{\sqrt{50}} \right) = (15.5347, 16.4653)
\end{equation}