Càlcul de probabilitats d’esdeveniments independents i aplicació de la distribució binomial en contagis de Covid-19

Un estudi publicat a Environmental Science and Technology ha revelat que la probabilitat de contreure la Covid-19 a l’interior de restaurants és de $0.45$. A més, segons dades de les Nacions Unides, al món hi ha actualment un $50,5\%$ d’homes i un $49,5\%$ de dones. a) Suposant que els successos “contraure la Covid-19 a l’interior de restaurants” i “ser dona” són independents, calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar sigui dona i contregui la Covid-19 a l’interior de restaurants. b) En el mateix supòsit que a l’apartat (a), calculeu la probabilitat que una persona escollida a l’atzar no sigui dona o no contregui la Covid-19 a l’interior de restaurants. c) Si s’escullen 8 persones a l’atzar, quina és la probabilitat que almenys 4 d’elles contreguin la Covid-19 a l’interior de restaurants?

Anomenem $A$ l’esdeveniment contagiar-se de Covid-19 a l’interior de restaurants” i $B$ l’esdevenimentser dona”. Per tant, les dades de l’exercici són:

• $P(A) = 0,45$

• $P(B) = 0,495$

a) Es tracta de calcular la probabilitat de l’esdeveniment intersecció $A \cap B$. Com que es suposa que els esdeveniments $A$ i $B$ són independents, llavors tenim
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,45 \cdot 0,495 = 0,22275.$$

b) Es tracta de calcular la probabilitat de l’esdeveniment $\overline{A} \cup \overline{B}$, on, com és habitual, $overline{A}$ i $\overline{B}$ denoten els esdeveniments contraris d’$A$ i de $B$, respectivament. Tenint en compte que $A \cap B = \overline{A} \cup \overline{B}$

es té que $$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(A \cap B) = 1 – P(A \cap B)$$

i, com es suposa que $A$ i $B$ són independents, podem usar l’apartat a) per concloure que $$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 – P(A \cap B) = 1 – 0,22275 = 0,77725.$$

c) En aquest apartat anomenem $X$ la variable aleatòria que compta el nombre de persones que contagien la Covid-19 a l’interior de restaurants quan triem 8 persones a l’atzar. Es tracta, per tant, d’una variable aleatòria que segueix una distribució binomial de paràmetres $n = 8$, perquè es trien $8$ persones a l’atzar, i $p = P(A) = 0,45$, perquè és la probabilitat que una persona es contagiï de Covid-19 a l’interior de restaurants.

Per tant, $X \sim B(n=8, p=0,45)$ i es tracta de calcular $P(X \geq 4)$. Utilitzant la taula de la binomial (o aplicant la fórmula corresponent) es té $$P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) =$$ $$= 0,2627 + 0,1719 + 0,0703 + 0,0164 + 0,0017 = 0,523.$$

O, alternativament, $$P(X \geq 4) = 1 – P(X \leq 3) = 1 – (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)) =$$ $$= 1 – (0,0084 + 0,0548 + 0,1569 + 0,2568) = 1 – 0,4769 = 0,5231.$$

La aparent discrepància en el resultat es deu a la precisió usada a la taula. Les dues respostes es consideraran correctes.