Discussió d’un sistema lineal amb paràmetre

Responeu als dos subapartats següents, considerant aquest sistema lineal: $$\begin{cases}(m + 1)x + z = 1 \\ (m + 1)x + y + z = m + 1 \\ (m + 1)x + my + (m – 1)z = m\end{cases}$$ a) Discutiu el sistema en funció del valor del paràmetre real $m$. b) Si és possible, resoleu-lo en el cas $m = 0$.

a) Discutiu el sistema en funció del valor del paràmetre real $m$.

Matrius de coeficients i ampliada:

$$A = \begin{pmatrix}
m + 1 & 0 & 1 \\
m + 1 & 1 & 1 \\
m + 1 & m & m – 1
\end{pmatrix}
\quad \text{i} \quad
A^* = \begin{pmatrix}
m + 1 & 0 & 1 & 1 \\
m + 1 & 1 & 1 & m + 1 \\
m + 1 & m & m – 1 & m
\end{pmatrix}$$

$$\det A = (m + 1)(m – 1) + m(m + 1) – (m + 1) – m(m + 1)$$

Traiem factor comú $(m + 1)$:

$$\det A = (m + 1)(m – 1 + m – 1 – m) = (m + 1)(m – 2)
\Rightarrow \det A = 0 \Leftrightarrow m = -1, \ m = 2$$

• Cas 1: $m \ne -1$, $m \ne 2$

$$\text{rg } A = 3 = \text{rg } A^* = \text{nº d’incògnites$$

Pel teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema és $\textbf{compatible determinat}$, té $\textbf{solució única}$.

• Cas 2: $m = -1$

$$A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & -1 & -2
\end{pmatrix}
\quad \text{Com que} \quad
\left|
\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{matrix}
\right| = -1 \ne 0 \Rightarrow \text{rg } A = 2$$

$$A^* = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & -2 & -1
\end{pmatrix}$$

Fem $f_3 + f_2$:

$$\Rightarrow \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & -1
\end{pmatrix}$$

Fem $f_3 = -f_1$:

$$\Rightarrow \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$

$$\left|
\begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{matrix}
\right| = -1 \ne 0 \Rightarrow \text{rg } A^* = 2$$

Per tant, $\text{rg } A = \text{rg } A^* = 2 < \text{nº d’incògnites}$

Pel teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema és $\textbf{compatible indeterminat}$, té $\textbf{infinites solucions}$.

• Cas $m = 2$:

\begin{equation}
A^* = \begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
f_2 + f_1 \Rightarrow
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 & 1 \\
6 & 1 & 2 & 4 \\
3 & 2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
f_2 – f_3 \Rightarrow
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 & 1 \\
3 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 0 & 6
\end{pmatrix}
\end{equation}

La 3a fila correspon a l’equació $0 = 6$, que és incompatible. Per tant, el sistema és \textbf{incompatible}.

b) Si és possible, resol-lo en el cas $m = 0$

Sabem que el sistema té solució única. L’obtenim amb el mètode de Gauss:

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}

\begin{equation}
f_3 + f_1 \Rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation}

Aquest sistema correspon a:

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x + z = 1 \\
x + y + z = 1 \\
2x = -1
\end{array}
\right.
\end{equation}

Resolem:

\begin{equation}
x = \frac{1}{2}, \quad
z = 1 – x = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, \quad
y = 1 – x – z = 1 – \frac{1}{2} – \frac{1}{2} = 0
\end{equation}

$\textbf{La solució és:}$
\begin{equation}
x = \frac{1}{2}, \quad y = 0, \quad z = \frac{1}{2}
\end{equation}