Resolució i Discussió de Sistemes d’Equacions Lineals amb Paràmetres

Considera el següent sistema d’equacions, on $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases}ax + 2y + z = 1 \\ 2x + ay + z = a \\ 5x + 2y + z = 1\end{cases}$$ a) Discuteix el sistema d’equacions segons els valors de $a$, i identifica el nombre de solucions en cada cas. b) Resol, de manera raonada, el sistema d’equacions per $a = 1$.

a) La matriu de coeficients associada al sistema és $A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 2 & a & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ i la matriu ampliada és $A|B = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 & 1 \\ 2 & a & 1 & a \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Averiguem quan se anul·la el determinant de la matriu $A$.

$$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ 2 & a & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} a & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & a \ 5 & 2 \end{vmatrix} = a(a \cdot 1 – 1 \cdot 2) – 2(2 \cdot 1 – 1 \cdot 5) + 1(2 \cdot 2 – a \cdot 5)$$

$$= a(a – 2) – 2(2 – 5) + (4 – 5a) = a^2 – 2a + 6 + 4 – 5a = a^2 – 7a + 10$$

$$a^2 – 7a + 10 = 0 \implies a = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 – 4(1)(10)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 – 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \implies \begin{cases}a = 5 \\ a = 2\end{cases}$$

Distingim tres casos que analitzem per separat.

• CAS 1: $a \neq 2$ i $a \neq 5$.

En aquest cas el determinant de $A$ és no nul i el seu rang és $3$, açò com el de $A|B$ és igual al número d’incògnites. El sistema és compatible determinat (una única solució).

• CAS 2: $a = 2$.

En aquest cas el determinant de $A$ és nul i el seu rang és $3$. Analitzem el rang de $A|B$ usant el mètode de Gauss per triangular el sistema.

$$A|B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -6 & -3 & -3 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 1 \\0 & -6 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

El rang de $A$ és $2$ i el rang de $A|B$ és $3$. Els rangs són diferents i el sistema és incompatible (sense solució).

• CAS 3: $a = 5$.

En aquest cas el determinant de ( A ) és nul i el seu rang no és 3. Analitzem el rang de ( A ) i ( A|B ) usant el mètode de Gauss per triangular el sistema.

$$A|B = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 21 & 3 & 23 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

El rang de $A$ i $A|B$ és $2$. Els rangs són iguals, però menors que el nombre d’incògnites $3$. El sistema és compatible indeterminat (infinitat de solucions).

Resumint:

• Si $a \neq 2$ i $a \neq 5$, el sistema és compatible determinat;

• si $a = 2$, el sistema és incompatible; i si $a = 5$, el sistema és compatible indeterminat.

b) Per a $a = 1$, el sistema és compatible determinat (apartat anterior). Trobem la seva solució.

$$\begin{cases}x+2y+z=1 \\ 2x+y+z=1 \\ 5x+2y+z=1\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}x+2y+z=1 \\ -8y-4z=-4 \\ -5y-z=-1\end{cases}\longrightarrow\begin{cases} x+2y+z=1 \\ 2y+z=1 \\ -5y-z=-1\end{cases}\longrightarrow\begin{cases} x+2y+z=1 \\ 2y+z=1 \\ 3z=1\end{cases}$$

De l’última eqaució obtenim $z =1$, per tant ens queda:

$$\begin{cases}x+2y+z=1 \\ 2y+z=1\end{cases}\longrightarrow \begin{cases}x+2y+1=1 \\ 2y+1=1\end{cases}\longrightarrow \begin{cases}x+2y=0 \\ 2y=0\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}x=0 \\ y= 0\end{cases}$$

La solució del sistema és $x = 0$, $y = 0$, $z = 1$.