Problema sobre probabilitat condicionada i teorema de Bayes

En una ciutat, el 70% dels habitants té subscripció a un servei de streaming (S). D’aquests subscriptors, el 40% també veu contingut en català regularment (C). En canvi, entre els que no tenen subscripció, només el 15% veu contingut en català.

1. Calcula la probabilitat que un habitant escollit a l’atzar vegi contingut en català ($P(C)$).
2. Si un habitant triat a l’atzar veu contingut en català, quina és la probabilitat que no tingui subscripció al servei de streaming ($P(S^c|C)$)?

1. Probabilitat total de veure contingut en català ($P(C)$)

Dades proporcionades:

• Probabilitat de tenir subscripció: $P(S) = 0.7$ (70%).
• Probabilitat de no tenir subscripció: $P(S^c) = 1 – P(S) = 0.3$ (30%).
• Probabilitat de veure contingut en català si té subscripció: $P(C|S) = 0.4$ (40%).
• Probabilitat de veure contingut en català si no té subscripció: $P(C|S^c) = 0.15$ (15%).

Càlcul:
Utilitzem el teorema de la probabilitat total per calcular $P(C)$:
$$P(C) = P(S) \cdot P(C|S) + P(S^c) \cdot P(C|S^c)$$
Substituïm les dades:
$$P(C) = (0.7 \cdot 0.4) + (0.3 \cdot 0.15)$$
$$= 0.28 + 0.045 = 0.325$$
Per tant, la probabilitat que un habitant vegi contingut en català és:
$$P(C) = 0.325 \ (32.5\%)$$

2. Probabilitat que no tingui subscripció, sabent que veu contingut en català ($P(S^c|C)$)

Càlcul:
Utilitzem el teorema de Bayes:
$$P(S^c|C) = \frac{P(S^c) \cdot P(C|S^c)}{P(C)}$$
Substituïm els valors:

• $P(S^c) = 0.3$
• $P(C|S^c) = 0.15$
• $P(C) = 0.325$ (calculat en l’apartat anterior)

$$P(S^c|C) = \frac{0.3 \cdot 0.15}{0.325} = \frac{0.045}{0.325}$$
Simplifiquem:
$$\frac{0.045}{0.325} = \frac{45}{325} = \frac{9}{65} \approx 0.1384615$$
Arrodonint a quatre decimals:
$$P(S^c|C) \approx 0.1385 \ (13.85\%)$$

Respostes finals

1. Probabilitat que un habitant vegi contingut en català: $32.5\%$.
2. Probabilitat que no tingui subscripció si veu contingut en català: $\approx 13.85\%$.