Distribució de diners en paradisos fiscals

Un defraudador fiscal té distribuït el seu diner negre en tres paradisos fiscals: les Illes Caiman, Panamà i Fiji, amb un total de 150 milions d’euros. Es compleixen les següents condicions:

• Si perdés la quarta part del diner que té a les Illes Caiman, encara tindria allà el triple del diner que té a Panamà.
• Els diners que té a Panamà més les dues cinquenes parts del diner que té a Fiji és exactament la meitat del diner que té a les Illes Caiman.

Definim:

• $C$: diners a les Illes Caiman (en milions d’euros).
• $P$: diners a Panamà (en milions d’euros).
• $F$: diners a Fiji (en milions d’euros).

$\textbf{Pas 1: Equacions}$

\begin{equation}
C + P + F = 150.
\end{equation}
Si perd la quarta part de $C$, li queda $\frac{3C}{4}$, que és el triple de $P$:
\begin{equation}
\frac{3C}{4} = 3P \implies C – 4P = 0.
\end{equation}
Els diners a Panamà més $\frac{2}{5}$ dels diners a Fiji és la meitat de $C$:
\begin{equation}
P + \frac{2}{5}F = \frac{C}{2} \implies -5C + 10P + 4F = 0.
\end{equation}

$\textbf{Pas 2: Matriu augmentada}$

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & | & 150 \\
1 & -4 & 0 & | & 0 \\
-5 & 10 & 4 & | & 0
\end{bmatrix}$$

$\textbf{Pas 3: Eliminació gaussiana}$

• $F_2 \gets F_2 – F_1$:
  \begin{equation}
  \begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 & | & 150 \\
  0 & -5 & -1 & | & -150 \\
  -5 & 10 & 4 & | & 0
  \end{bmatrix}
  \end{equation}
• $F_3 \gets F_3 + 5F_1$:
  \begin{equation}
  \begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 & | & 150 \\
  0 & -5 & -1 & | & -150 \\
  0 & 15 & 9 & | & 750
  \end{bmatrix}
  \end{equation}
• $F_2 \gets 3F_2$, després $F_3 \gets F_3 + F_2$:
  \begin{equation}
  \begin{bmatrix}
  1 & 1 & 1 & | & 150 \\
  0 & -15 & -3 & | & -450 \\
  0 & 0 & 6 & | & 300
  \end{bmatrix}
  \end{equation}

$\textbf{Pas 4: Substitució cap enrere}$

• Fila 3:
  \begin{equation}
  6F = 300 \implies F = 50.
  \end{equation}
• Fila 2:
  \begin{equation}
  -15P – 3 \cdot 50 = -450 \implies -15P = -300 \implies P = 20.
  \end{equation}
• Fila 1:
  \begin{equation}
  C + 20 + 50 = 150 \implies C = 80.
  \end{equation}

$\textbf{Resposta final}$

• Illes Caiman: 80 milions d’euros.
• Panamà: 20 milions d’euros.
• Fiji: 50 milions d’euros.