Probabilitat que les persones estiguin a favor d’una llei

En un col·lectiu de $100$ persones, se sap que $20$ estan a favor d’una llei i la resta en contra. Quina és la probabilitat que, en enquestar $10$ persones d’aquest col·lectiu, exactament $2$ estiguin a favor de la llei?

1. Identifiquem els paràmetres:

• Nombre de persones enquestades: $n = 10$.
• Probabilitat d’èxit (estar a favor): $p = \frac{20}{100} = 0.2$.
• Probabilitat de fracàs (estar en contra): $q = 1 – 0.2 = 0.8$.
• Nombre d’èxits desitjats: $k = 2$.

1. Apliquem la fórmula binomial:
   $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$
   Calculem $$P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.2)^2 (0.8)^8 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}\cdot(0.2)^2 \cdot(0.8)^8=0.301989888$$.

Resposta final: La probabilitat que exactament 2 de les 10 persones enquestades estiguin a favor de la llei és 0.302 (o 30.2%).