Probabilitat d’errades en fulles segons una distribució de Poisson

Sabem que el nombre d’errades per fulla segueix una distribució de Poisson amb una mitjana de 0.2 errades per fulla. Quina és la probabilitat que una fulla no tingui errades? I que en 10 fulles no n’hi hagi cap?

1. Probabilitat que una fulla no tingui errades

La distribució de Poisson té la fórmula:
$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$
on $\lambda$ és la mitjana d’errades per fulla ($\lambda = 0.2$) i $k$ és el nombre d’errades.

Per a una fulla sense errades ($k = 0$):
$$P(X = 0) = \frac{e^{-0.2} \cdot 0.2^0}{0!} = e^{-0.2} \cdot 1 = e^{-0.2}$$
Calculem $e^{-0.2}$:
$$e^{-0.2} \approx 0.818730753$$
Per tant, la probabilitat que una fulla no tingui errades és aproximadament $0.819$ (o $81.9\%$).

2. Probabilitat que 10 fulles no tinguin errades

Com que les fulles són independents, la probabilitat que les $10$ fulles no tinguin errades és el producte de les probabilitats individuals:
$$P(\text{totes 10 sense errades}) = [P(X = 0)]^{10} = (e^{-0.2})^{10} = e^{-0.2 \cdot 10} = e^{-2}$$
Calculem (e^{-2}):
$$e^{-2} \approx 0.135335283$$
Per tant, la probabilitat que les $10$ fulles no tinguin errades és aproximadament $0.135$ (o $13.5\%$).

Resposta final:

• Probabilitat que una fulla no tingui errades: $0.819$ (o $81.9\%$).
• Probabilitat que 10 fulles no tinguin errades: $0.135$ (o $13.5\%$).