Probabilitat de rebre cinc o més trucades en 9 minuts

En una ciutat gran, les trucades telefòniques al 911 arriben a una mitjana de dues cada 3 minuts. Si se suposa un procés de Poisson per a l’arribada de les trucades, quina és la probabilitat de rebre cinc o més trucades en un període de 9 minuts?

Utilitzarem la distribució de Poisson per modelar el nombre de trucades rebudes en un interval de temps fix, ja que les trucades són esdeveniments independents que ocorren a una taxa constant.

Dades

• La taxa mitjana és $2$ trucades cada $3$ minuts, per tant, la taxa per minut és:
  $$\lambda_{\text{minut}} = \frac{2}{3} \text{ trucades per minut}$$
• Per a un període de $9$ minuts, la taxa total és:
  $$\lambda = \frac{2}{3} \times 9 = 6 \text{ trucades en 9 minuts}$$
• Volem calcular la probabilitat de rebre cinc o més trucades, és a dir, $P(X \geq 5)$, on $X$ és el nombre de trucades en $9$ minuts.
• Com que $P(X \geq 5) = 1 – P(X \leq 4)$, calcularem:
  $$P(X \leq 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$$
• La fórmula de la distribució de Poisson és:
  $$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$
  on $\lambda = 6$, $x$ és el nombre de trucades, i $e \approx 2.71828$.

Càlcul de $P(X \leq 4)$

Calculem les probabilitats individuals per a $x = 0, 1, 2, 3, 4$:

1. Per a $x = 0$:
   $$P(X = 0) = \frac{e^{-6} \cdot 6^0}{0!} = e^{-6}$$
   $$e^6 \approx 403.4288, \quad \text{per tant,} \quad e^{-6} \approx 0.0024787$$
2. Per a $x = 1$:
   $$P(X = 1) = \frac{e^{-6} \cdot 6^1}{1!} = e^{-6} \cdot 6 = 0.0024787 \cdot 6 \approx 0.0148722$$
3. Per a $x = 2$:
   $$P(X = 2) = \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} = \frac{e^{-6} \cdot 36}{2} = 0.0024787 \cdot 18 \approx 0.0446166$$
4. Per a $x = 3$:
   $$P(X = 3) = \frac{e^{-6} \cdot 6^3}{3!} = \frac{e^{-6} \cdot 216}{6} = 0.0024787 \cdot 36 \approx 0.0892332$$
5. Per a $x = 4$:
   $$P(X = 4) = \frac{e^{-6} \cdot 6^4}{4!} = \frac{e^{-6} \cdot 1296}{24} = 0.0024787 \cdot 54 \approx 0.1338498$$

Ara sumem les probabilitats:

$$P(X \leq 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$$

$$P(X \leq 4) \approx 0.0024787 + 0.0148722 + 0.0446166 + 0.0892332 + 0.1338498 \approx 0.2850505$$

Per tant, la probabilitat de rebre cinc o més trucades és:

$$P(X \geq 5) = 1 – P(X \leq 4) \approx 1 – 0.2851 = 0.7149$$

Resposta final

La probabilitat de rebre cinc o més trucades en un període de 9 minuts és:

$$\boxed{0.715}$$

(És a dir, aproximadament un $71,5\%$ de probabilitat).