Probabilitats de Partícules de Contaminació en Discos Òptics amb Distribució de Poisson

La contaminació constitueix un problema en la fabricació de discos d’emmagatzematge òptic. El nombre de partícules de contaminació que ocorre en un disc òptic segueix una distribució de Poisson, i el nombre mitjà de partícules per centímetre quadrat de superfície del disc és $0,1$. L’àrea d’un disc sota estudi és $100$ centímetres quadrats. (a) Calculeu la probabilitat que ocorrin $12$ partícules en l’àrea del disc sota estudi. (b) Calculeu la probabilitat que ocorrin zero partícules en l’àrea del disc sota estudi. (c) Determineu la probabilitat que ocorrin $12$ o menys partícules en l’àrea del disc sota estudi.

La distribució de Poisson modela el nombre de partícules de contaminació en una àrea determinada. La variable aleatòria $X$ representa el nombre de partícules en l’àrea del disc, i la fórmula de probabilitat és:
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}, \quad \text{per } x = 0, 1, 2, \dots$$
on $\lambda$ és la mitjana de partícules en l’àrea considerada.

Pas 1: Determinar el paràmetre $\lambda$

La mitjana de partícules és $0,1$ per centímetre quadrat, i l’àrea del disc és $100$ centímetres quadrats. Per tant:
$$\lambda = 0,1 \cdot 100 = 10$$
Aleshores, $X \sim Poisson(\lambda = 10)$.

(a) Probabilitat que ocorrin $12$ partícules

Volem calcular $P(X = 12)$:
$$P(X = 12) = \frac{e^{-10} \cdot 10^{12}}{12!}$$

Calculem:

• $e^{-10} \approx 0,0000453999$
• $10^{12} = 1,000,000,000,000$
• $12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 479,001,600$

Numerador:
$$e^{-10} \cdot 10^{12} \approx 0,0000453999 \cdot 1,000,000,000,000 \approx 45,3999$$

Dividim:
$$P(X = 12) = \frac{45,3999}{479,001,600} \approx 0,0947803$$

Resposta: La probabilitat que ocorrin $12$ partícules és aproximadament $0,0948$.

(b) Probabilitat que ocorrin zero partícules

Volem calcular $P(X = 0)$:
$$P(X = 0) = \frac{e^{-10} \cdot 10^0}{0!} = e^{-10}$$

Sabem que:
$$e^{-10} \approx 0,0000453999$$

Resposta: La probabilitat que ocorrin zero partícules és aproximadament $0,0000$.

(c) Probabilitat que ocorrin $12$ o menys partícules

Volem calcular $P(X \leq 12)$:
$$P(X \leq 12) = \sum_{x=0}^{12} \frac{e^{-10} \cdot 10^x}{x!}$$

$$P(X \leq 12) \approx 0,7916$$

Resposta: La probabilitat que ocorrin $12$ o menys partícules és aproximadament $0,7916$.

Resum de respostes:

(a) Probabilitat de 12 partícules: 0,0948
(b) Probabilitat de zero partícules: 0,0000
(c) Probabilitat de 12 o menys partícules: 0,7916