Probabilitat de nens amb defectes de naixement i mares fumadores

En una investigació sobre els efectes teratogènics del tabaquisme, es va estudiar una mostra d’embarassades, de les quals el 40% fumava i el 60% no. Quan van néixer els nens, es va trobar que 20 d’ells tenien algun tipus de defecte de naixement. Sigui $\xi$ el nombre de nens amb defectes de naixement les mares dels quals fumaven durant l’embaràs. Si no hi ha relació entre el fet que la mare fumés i els defectes de naixement, llavors $\xi$ segueix una distribució binomial amb $n = 20$ i $p = 0.4$. Es demana: ¿Quina és la probabilitat que 12 o més nens afectats tinguin mares que fumaven?

El nombre de nens amb defectes de naixement les mares dels quals fumaven ($\xi$) segueix una distribució binomial, ja que cada nen afectat té una probabilitat independent de $p = 0.4$ que la seva mare fumés, i hi ha $n = 20$ nens afectats.

Dades

• Paràmetres de la distribució binomial:
• $n = 20$ (nombre de nens amb defectes).
• $p = 0.4$ (probabilitat que la mare d’un nen afectat fumés).
• $q = 1 – p = 0.6$ (probabilitat que la mare no fumés).
• Volem calcular la probabilitat que $\xi \geq 12$, és a dir:
  $$P(\xi \geq 12) = P(\xi = 12) + P(\xi = 13) + \cdots + P(\xi = 20)$$
• La probabilitat d’una distribució binomial ve donada per:
  $$P(\xi = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{20}{k} (0.4)^k (0.6)^{20-k}$$

Càlcul amb aproximació normal

Calcular $P(\xi \geq 12)$ sumant les probabilitats individuals des de $k = 12$ fins a $k = 20$ pot ser laboriós. Com que $n = 20$ no és molt petit i $np = 20 \cdot 0.4 = 8$, $nq = 20 \cdot 0.6 = 12$, podem utilitzar l’aproximació normal per simplificar el càlcul, ja que $np$ i $nq$ són majors o iguals a $5$, cosa que fa l’aproximació raonable.

La distribució binomial $\xi \sim \text{Binomial}(n=20, p=0.4)$ s’aproxima a una distribució normal amb:

• Mitjana:
  $$\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0.4 = 8$$
• Variança:
  $$\sigma^2 = n \cdot p \cdot q = 20 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 4.8$$
• Desviació estàndard:
  $$\sigma = \sqrt{4.8} \approx 2.1909$$

Per calcular $P(\xi \geq 12)$, apliquem la correcció de continuïtat, ja que la binomial és discreta i la normal és contínua. Així, $P(\xi \geq 12)$ s’aproxima a $P(Y \geq 11.5)$, on $Y \sim N(\mu = 8, \sigma = \sqrt{4.8})$.

Calculem el valor $Z$:

$$Z = \frac{11.5 – \mu}{\sigma} = \frac{11.5 – 8}{2.1909} \approx \frac{3.5}{2.1909} \approx 1.597$$

Ara busquem $P(Z \geq 1.597)$ en una distribució normal estàndard:

$$P(Z \geq 1.597) = 1 – P(Z < 1.597)$$

Segons taules de la distribució normal estàndard, $P(Z < 1.6) \approx 0.9452$. Com que $1.597$ és molt proper a $1.6$, podem interpolar o utilitzar $1.6$ per simplicitat:

$$P(Z < 1.597) \approx 0.945$$

Per tant:

$$P(Z \geq 1.597) \approx 1 – 0.945 \approx 0.055$$

Resposta amb aproximació: La probabilitat és aproximadament $0.055$.

Resposta final

La probabilitat que 12 o més nens afectats tinguin mares que fumaven és:

$$\boxed{0.055}$$

(És a dir, aproximadament un 5,5%).