Probabilitat de rebre menys de quatre trucades en un minut

Una companyia telefònica rep trucades a raó de $5$ per minut. Si la distribució del nombre de trucades segueix una distribució de Poisson, calcular la probabilitat de rebre menys de quatre trucades en un minut determinat.

Per resoldre aquest problema, utilitzarem la distribució de Poisson, que és adequada per modelar el nombre d’esdeveniments (trucades) que ocorren en un interval fix de temps amb una taxa mitjana constant.

Dades

• La companyia rep una mitjana de 5 trucades per minut, per tant, la taxa de la distribució de Poisson és $\lambda = 5$.
• Volem calcular la probabilitat de rebre menys de 4 trucades en un minut, és a dir, $P(X < 4)$, on $X$ és el nombre de trucades.
• Això és equivalent a $P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$.

Distribució de Poisson

La probabilitat de rebre exactament $x$ trucades en un minut ve donada per la fórmula de Poisson:

$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$

On:

• $\lambda = 5$
• $x$ és el nombre de trucades (0, 1, 2, 3)
• $e \approx 2.71828$

Càlcul de $P(X \leq 3)$

Calculem les probabilitats individuals per a $x = 0, 1, 2, 3$:

1. Per a $x = 0$:
   $$P(X = 0) = \frac{e^{-5} \cdot 5^0}{0!} = e^{-5}$$
   $$e^5 \approx 148.413, \quad \text{llavors} \quad e^{-5} \approx \frac{1}{148.413} \approx 0.006738$$
2. Per a $x = 1$:
   $$P(X = 1) = \frac{e^{-5} \cdot 5^1}{1!} = e^{-5} \cdot 5 = 0.006738 \cdot 5 \approx 0.03369$$
3. Per a $x = 2$:
   $$P(X = 2) = \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2!} = \frac{e^{-5} \cdot 25}{2} = \frac{0.006738 \cdot 25}{2} \approx \frac{0.16845}{2} \approx 0.084225$$
4. Per a $x = 3$:
   $$P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{e^{-5} \cdot 125}{6} = \frac{0.006738 \cdot 125}{6} \approx \frac{0.84225}{6} \approx 0.140375$$

Ara sumem les probabilitats:

$$P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$$

$$P(X \leq 3) \approx 0.006738 + 0.03369 + 0.084225 + 0.140375 \approx 0.265028$$

Arrodonint a 4 decimals:

$$P(X \leq 3) \approx 0.2650$$

Resposta final

La probabilitat de rebre menys de $4$ trucades en un minut és:

$$\boxed{0.265}$$

(És a dir, aproximadament un $26,5\%$ de probabilitat).