Probabilitats de Penjades d’un Software amb Model de Poisson i Exponencial

Se sap que el nombre de vegades que es penja un determinat software segueix un model de distribució de Poisson amb mitjana de 2 cops per setmana. (a) Calculeu la probabilitat que, com a mínim, es pengi 1 cop en una setmana. (b) Quina és la probabilitat que passin més de 5 setmanes sense penjar-se si ja n’hi ha hagut més de 2 des de l’últim cop que es va penjar?

(a) Sigui $X \sim P(2)$, on la unitat de temps és una setmana.
$$P(X \geq 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = 1 – e^{-2} = 0,8646647 \approx 0,86.$$

(b) Considerem ara $T$ la variable aleatòria que compta el temps transcorregut entre dues penjades del software, $T \sim \text{Exp}(2)$.
Apliquem la propietat de la pèrdua de memòria del model exponencial:
$$P(T > 5 \mid T > 2) = P(T > 3) = 1 – P(T \leq 3) = 1 – (1 – e^{-\lambda \cdot 3}) = e^{-6} = 0,002478752$$