Anàlisi de la Distribució de Poisson per a la Recepció de Correus Electrònics d’un Professor Universitari

Segons una enquesta, un professor universitari rep, de mitjana, 7 correus electrònics al dia. Sigui $X$ = el nombre de correus electrònics que rep un professor al dia. La variable aleatòria discreta $X$ pren els valors $x = 0, 1, 2, \dots$. La variable aleatòria $X$ té una distribució de Poisson: $X \sim P(7)$. La mitjana és de $7$ correus electrònics.

• Quina és la probabilitat que un usuari de correu electrònic rebi exactament $2$ correus electrònics al dia?
• Quina és la probabilitat que un usuari de correu electrònic rebi com a màxim $2$ correus electrònics al dia?
• Quina és la desviació típica?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem les propietats de la distribució de Poisson amb paràmetre $\lambda = 7$, ja que $X \sim Poisson(7)$. La variable aleatòria $X$ representa el nombre de correus electrònics rebuts per un professor al dia.

1. Probabilitat de rebre exactament $2$ correus electrònics al dia

La fórmula de la probabilitat per a una distribució de Poisson és:
$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$
On $\lambda = 7$, $x = 2$.

Substituïm:
$$P(X = 2) = \frac{e^{-7} \cdot 7^2}{2!} = \frac{e^{-7} \cdot 49}{2}$$

Calculem:

• $e^{-7} \approx 0.0009118$
• $7^2 = 49$
• $2! = 2$

Aleshores:
$$P(X = 2) = \frac{0.0009118 \cdot 49}{2} = \frac{0.0446782}{2} \approx 0.02234$$

Resposta: La probabilitat de rebre exactament 2 correus electrònics és aproximadament $0.0223$ (arrodonit a 4 decimals).

2. Probabilitat de rebre com a màxim 2 correus electrònics al dia

La probabilitat que $X \leq 2$ és la suma de les probabilitats per a $X = 0, 1, 2$:
$$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$$

Calculem cada terme:

• Per a $x = 0$:
  $$P(X = 0) = \frac{e^{-7} \cdot 7^0}{0!} = e^{-7} \approx 0.0009118$$
• Per a $x = 1$:
  $$P(X = 1) = \frac{e^{-7} \cdot 7^1}{1!} = e^{-7} \cdot 7 \approx 0.0009118 \cdot 7 \approx 0.0063826$$
• Per a $x = 2$, ja calculat:
  $$P(X = 2) \approx 0.02234$$

Sumem:
$$P(X \leq 2) = 0.0009118 + 0.0063826 + 0.02234 \approx 0.0296344$$

Resposta: La probabilitat de rebre com a màxim $2$ correus electrònics és aproximadament $0.0296$ (arrodonit a 4 decimals).

3. Desviació típica

Per a una distribució de Poisson, la mitjana i la variància són iguals a ( \lambda ). Per tant:

• Mitjana: $\mu = \lambda = 7$
• Variància: $\sigma^2 = \lambda = 7$
• Desviació típica: $\sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{7} \approx 2.64575$

Resposta: La desviació típica és aproximadament 2.6458.

Resum de respostes:

1. Probabilitat de rebre exactament 2 correus: 0.0223
2. Probabilitat de rebre com a màxim 2 correus: 0.0296
3. Desviació típica: 2.6458