Anàlisi del recompte de glòbuls blancs en una gota de sang

El recompte de glòbuls blancs d’un individu sa pot presentar un valor mínim mitjà de fins a $6.000$ per mil·límetre cúbic de sang. Per detectar una deficiència de glòbuls blancs, es determina el seu nombre en una gota de sang de $0,001$ mil·límetres cúbics. Es demana: a) Quants glòbuls blancs s’esperen en un individu sa? b) Com de rar seria trobar un màxim de $2$ glòbuls blancs?

Utilitzarem la distribució de Poisson per modelar el nombre de glòbuls blancs en una gota de sang, ja que es tracta d’esdeveniments rars (glòbuls blancs) en un volum petit, amb una taxa mitjana constant.

Dades

• La taxa mitjana de glòbuls blancs en un individu sa és $6.000$ per mil·límetre cúbic (mm³).
• El volum de la gota de sang és $0,001$ mm³.
• La variable $X$, que representa el nombre de glòbuls blancs en la gota, segueix una distribució de Poisson.

a) Nombre esperat de glòbuls blancs en un individu sa

La taxa mitjana de glòbuls blancs per mm³ és $\lambda = 6.000$. Per a un volum de $0,001$ mm³, la taxa ajustada és:

$$\lambda_{\text{gota}} = 6.000 \times 0.001 = 6 \text{ glòbuls blancs per gota}$$

En una distribució de Poisson, el valor esperat és igual a la taxa:

$$E(X) = \lambda_{\text{gota}} = 6$$

Resposta: S’esperen $6$ glòbuls blancs en una gota de $0,001$ mm³ en un individu sa.

b) Com de rar seria trobar un màxim de $2$ glòbuls blancs

Volem calcular la probabilitat de trobar un màxim de $2$ glòbuls blancs, és a dir:

$$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$$

La fórmula de la distribució de Poisson és:

$$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$

on $\lambda = 6$. Calculem les probabilitats individuals:

1. Per a $x = 0$:
   $$P(X = 0) = \frac{e^{-6} \cdot 6^0}{0!} = e^{-6}$$
   $$e^6 \approx 403.4288, \quad \text{per tant,} \quad e^{-6} \approx \frac{1}{403.4288} \approx 0.0024787$$
2. Per a $x = 1$:
   $$P(X = 1) = \frac{e^{-6} \cdot 6^1}{1!} = e^{-6} \cdot 6 = 0.0024787 \cdot 6 \approx 0.0148722$$
3. Per a $x = 2$:
   $$P(X = 2) = \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} = \frac{e^{-6} \cdot 36}{2} = 0.0024787 \cdot 18 \approx 0.0446166$$

Sumem les probabilitats:

$$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$$

$$P(X \leq 2) \approx 0.0024787 + 0.0148722 + 0.0446166 \approx 0.0619675$$

Interpretació: La probabilitat de trobar $2$ o menys glòbuls blancs en una gota de sang és d’aproximadament un $6,2\%$. Això indica que és un esdeveniment relativament rar, ja que la mitjana esperada és 6 glòbuls blancs, i trobar-ne $2$ o menys està molt per sota d’aquest valor. En un context mèdic, aquest resultat podria suggerir una possible deficiència de glòbuls blancs, tot i que no és extremadament inusual (succeeix en un $6,2\%$ dels casos en individus sans).

Resposta final

$$\boxed{
\begin{array}{l}
\text{a) } 6 \\
\text{b) } 0.062
\end{array}
}$$