Probabilitats de Talls d’Electricitat en un Model de Poisson i Exponencial

Se sap que el nombre de vegades que es produeix un tall d’electricitat en una població rural segueix un model de distribució de Poisson amb mitjana de 2 cops per setmana. (a) Calculeu la probabilitat que es produeixi almenys un tall en tres setmanes. (b) Quina és la probabilitat que passin més de 5 setmanes sense produir-se cap tall si ja n’hi ha hagut més de 2 des de l’últim tall?

(a) Sigui $X$ la variable aleatòria discreta que compta el nombre de talls per setmana, $X \sim P(2)$.
Sigui $Y = X_1 + X_2 + X_3$, la variable aleatòria que compta el nombre de talls cada tres setmanes, $Y \sim P(6)$.
$$P(Y \geq 1) = 1 – P(Y < 1) = 1 – P(Y = 0) = 1 – \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = 1 – e^{-6} = 0,9975212.$$

(b) Considerem ara $T$, la variable aleatòria contínua que compta el temps (en setmanes) transcorregut entre dos talls d’electricitat (successos consecutius del model de Poisson de paràmetre $\lambda = 2$). Aleshores, $T$ segueix un model exponencial amb el mateix paràmetre, $T \sim \text{Exp}(2)$.
Apliquem la propietat de la pèrdua de memòria del model exponencial:
$$P(T > 5 \mid T > 2) = P(T > 3) = 1 – P(T \leq 3) = 1 – (1 – e^{-\lambda \cdot 3}) \bigg|_{\lambda=2} = e^{-6} = 0,002478752.$$

Observació: Sense aplicar la propietat de la pèrdua de memòria, calcularíem la probabilitat condicionada obtenint el mateix resultat:
$$P(T > 5 \mid T > 2) = \frac{P((T > 5) \cap (T > 2))}{P(T > 2)} = \frac{P(T > 5)}{P(T > 2)} = \frac{1 – (1 – e^{-\lambda \cdot 5})}{1 – (1 – e^{-\lambda \cdot 2})} = \frac{e^{-5\lambda}}{e^{-2\lambda}} = e^{-3\lambda} \bigg|_{\lambda=2} = e^{-6}.$$