Probabilitat d’arbres no vendibles en un viver d’avets de Nadal

El propietari d’un viver d’arbres està especialitzat en la producció d’abetos de Nadal. Aquests creixen en files de $300$ arbres. Se sap que, de mitjana, $6$ arbres per fila no són aptes per a la venda. Suposant que el nombre d’arbres no aptes per fila segueix una distribució de Poisson, calcula: a) La probabilitat de trobar $2$ arbres no vendibles en una fila d’arbres. b) La probabilitat de trobar $2$ arbres no vendibles en mitja fila d’arbres.

Utilitzarem la distribució de Poisson per modelar el nombre d’arbres no aptes (esdeveniments rars) en un conjunt fix (una fila o mitja fila). La distribució de Poisson és adequada quan els esdeveniments són independents i ocorren a una taxa mitjana constant.

Dades

• Cada fila té $300$ arbres.
• La mitjana d’arbres no aptes per fila és $6$, per tant, la taxa de la distribució de Poisson per a una fila completa és $\lambda = 6$.
• La variable $X$ representa el nombre d’arbres no aptes per a la venda en una fila (o mitja fila, segons el cas).
• La probabilitat segueix la fórmula de Poisson:
  $$P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$
  on $\lambda$ és la taxa, $x$ és el nombre d’arbres no aptes, i $e \approx 2.71828$.

a) Probabilitat de trobar $2$ arbres no vendibles en una fila de $300$ arbres

• Taxa: Per a una fila completa, $\lambda = 6$.
• Volem calcular $P(X = 2)$ per a $x = 2$.

Substituïm a la fórmula:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!}$$

1. Calculem els components:

• $6^2 = 36$
• $2! = 2$
• $e^6 \approx 403.4288 ), per tant, ( e^{-6} \approx \frac{1}{403.4288} \approx 0.0024787$

1. Substituïm:
   $$P(X = 2) = \frac{0.0024787 \cdot 36}{2} = \frac{0.0892332}{2} \approx 0.0446166$$

Resposta: La probabilitat de trobar exactament $2$ arbres no vendibles en una fila de $300$ arbres és $0.0446$ (aproximadament un $4,46\%$).

b) Probabilitat de trobar $2$ arbres no vendibles en mitja fila d’arbres

• Taxa: Una fila té $300$ arbres, per tant, mitja fila té $150$ arbres. Com que la mitjana de 6 arbres no aptes correspon a una fila completa, per a mitja fila la taxa és proporcional:
  $$\lambda = \frac{6}{2} = 3$$
• Volem calcular $P(X = 2)$ per a $\lambda = 3$.

Substituïm a la fórmula:

$$P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!}$$

1. Calculem els components:

• $3^2 = 9$
• $2! = 2$
• $e^3 \approx 20.0855 ), per tant, ( e^{-3} \approx \frac{1}{20.0855} \approx 0.049787$

1. Substituïm:
   $$P(X = 2) = \frac{0.049787 \cdot 9}{2} = \frac{0.448083}{2} \approx 0.2240415$$

Resposta: La probabilitat de trobar exactament $2$ arbres no vendibles en mitja fila ($150$ arbres) és $0.2240$ (aproximadament un $22,40\%$).

Resposta final

$$\boxed{
\begin{array}{l}
\text{a) } 0.0446 \\
\text{b) } 0.2240
\end{array}
}$$