Aplicació del model de Poisson en un servei mèdic d’urgències

Es té coneixement que el nombre de persones que arriben a un servei mèdic d’urgències per dia s’ajusta a un model de Poisson.

(a) Sabem que el percentatge de dies en què arriben tres persones és la meitat del percentatge de dies en què n’arriben dues. Trobeu el valor del paràmetre $\lambda$.

Sabem que $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$. Per definició: $$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$

Tenim: $$P(X = 3) = \frac{1}{2} P(X = 2) \Rightarrow \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$$

Simplificant: $$\frac{\lambda^3}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^2}{2} \Rightarrow \frac{\lambda^3}{6} = \frac{\lambda^2}{4} \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$$

(b) Quin és el temps mitjà (promig) en dies que transcorre entre l’arribada de dues persones al servei mèdic?

Si $X \sim \text{Poisson}(\lambda = 3/2)$, el temps entre dues arribades segueix una distribució exponencial amb el mateix paràmetre: $$T \sim \text{Exponencial}(\lambda = 3/2) \Rightarrow \mathbb{E}(T) = \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{3} \text{ dies}$$

(c) Quina és la probabilitat que, com a màxim, arribin dues persones en $2$ dies?

En dos dies, el paràmetre de Poisson és el doble: $$Y \sim \text{Poisson}(2 \cdot \lambda) = \text{Poisson}(3)$$

Aleshores: $$P(Y \leq 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = e^{-3} \left( \frac{3^0}{0!} + \frac{3^1}{1!} + \frac{3^2}{2!} \right) = e^{-3} (1 + 3 + \frac{9}{2}) = e^{-3} \cdot \frac{17}{2} \approx 0{,}4232$$