Càlcul del Perímetre i l’Àrea del Triangle T1 i Determinació dels Vèrtexs de T2 amb Condicions Específiques

Considerem el triangle \( T1 \) amb vèrtexs \( O(0, 0) \), \( P1(0, 4) \) i \( P2(3, 0) \). a) Determineu el perímetre i l’àrea del triangle \( T1 \). b) Determineu dos punts \( Q1(0, A) \) i \( Q2(B, 0) \), amb \( A, B > 0 \), que facin que el triangle \( T2 \), amb vèrtexs \( O(0, 0) \), \( Q1(0, A) \) i \( Q2(B, 0) \), tingui un perímetre que sigui el doble del perímetre del triangle \( T1 \) i una àrea que sigui quatre vegades més gran que l’àrea del triangle \( T1 \). Nota: Podeu utilitzar les equacions del perímetre i de l’àrea del triangle \( T2 \) per justificar que \( A + B = 14 \).

a) Perímetre i àrea del triangle T1. El triangle T1 té vèrtexs \( O(0, 0) \), \( P1(0, 4) \) i \( P2(3, 0) \). És un triangle rectangle amb catets \( OP1 = 4 \) (al llarg de l’eix \( y \)) i \( OP2 = 3 \) (al llarg de l’eix \( x \)).

1. Perímetre: Calculem les longituds dels costats:

• \( OP1 = 4 \) (distància vertical).

• \( OP2 = 3 \) (distància horitzontal).

• \( P1P2 \): Distància entre \( P1(0, 4) \) i \( P2(3, 0) \): \[ P1P2 = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Perímetre de T1: \[ \text{Perímetre} = OP1 + OP2 + P1P2 = 4 + 3 + 5 = 12 \]

2. Àrea: Com que és un triangle rectangle, l’àrea es calcula com: \[ \text{Àrea} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{12}{2} = 6 \]

Resposta:

• Perímetre de T1: \( 12 \) unitats.

• Àrea de T1: \( 6 \) unitats quadrades.

b) Determinació de \( Q1(0, A) \) i \( Q2(B, 0) \) per al triangle T2. El triangle T2 té vèrtexs \( O(0, 0) \), \( Q1(0, A) \) i \( Q2(B, 0) \), amb \( A, B > 0 \). Ha de complir:

• Perímetre de T2 = \( 2 \cdot \text{Perímetre de T1} = 2 \cdot 12 = 24 \).

• Àrea de T2 = \( 4 \cdot \text{Àrea de T1} = 4 \cdot 6 = 24 \).

1. Perímetre de T2: Els costats de T2 són:

• \( OQ1 = A \) (distància vertical).

• \( OQ2 = B \) (distància horitzontal).

• \( Q1Q2 \): Distància entre \( Q1(0, A) \) i \( Q2(B, 0) \): \[ Q1Q2 = \sqrt{(B-0)^2 + (0-A)^2} = \sqrt{B^2 + A^2} \] El perímetre de T2 és: \[ \text{Perímetre} = A + B + \sqrt{A^2 + B^2} = 24 \]

2. Àrea de T2: Com que T2 és un triangle rectangle amb catets \( A \) i \( B \), l’àrea és: \[ \text{Àrea} = \frac{1}{2} \cdot A \cdot B = 24 \] Simplificant: \[ A \cdot B = 48 \]

3. Sistema d’equacions: Tenim: \[ \begin{cases} A + B + \sqrt{A^2 + B^2} = 24 \\ A \cdot B = 48 \end{cases} \]

4. Justificació de \( A + B = 14 \): De \( A \cdot B = 48 \), expressem \( B = \frac{48}{A} \). Substituïm a l’equació del perímetre: \[ A + \frac{48}{A} + \sqrt{A^2 + \left(\frac{48}{A}\right)^2} = 24 \] Simplifiquem el terme dins l’arrel: \[ A^2 + \left(\frac{48}{A}\right)^2 = A^2 + \frac{2304}{A^2} \] Per tant: \[ A + \frac{48}{A} + \sqrt{A^2 + \frac{2304}{A^2}} = 24 \] Suposem \( A + B = 14 \) (com suggereix la nota). Com \( B = \frac{48}{A} \), substituïm: \[ A + \frac{48}{A} = 14 \] Multipliquem per \( A \): \[ A^2 + 48 = 14A \] Reorganitzem: \[ A^2 – 14A + 48 = 0 \] Resolem l’equació quadràtica: \[ A = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 – 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm \sqrt{196 – 192}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2} \] Solucions: \[ A = \frac{14 + 2}{2} = 8 \quad \text{o} \quad A = \frac{14 – 2}{2} = 6 \] Per \( A = 8 \): \[ B = \frac{48}{8} = 6 \] Per \( A = 6 \): \[ B = \frac{48}{6} = 8 \] Això ens dona dues combinacions possibles: \( (A, B) = (8, 6) \) o \( (A, B) = (6, 8) \), ambdues satisfent \( A + B = 14 \).

5. Verificació: Per \( A = 8 \), \( B = 6 \):

• Àrea: \( \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \) (correcte).

• Perímetre: \[ \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] \[ A + B + \sqrt{A^2 + B^2} = 8 + 6 + 10 = 24 \] (correcte). Per \( A = 6 \), \( B = 8 \), la verificació és idèntica per simetria.

6. Punts: Les dues solucions corresponen als punts: – \( Q1(0, 8) \), \( Q2(6, 0) \) – \( Q1(0, 6) \), \( Q2(8, 0) \)

Resposta: Els dos punts són:

• \( Q1(0, 8) \), \( Q2(6, 0) \)

• O bé \( Q1(0, 6) \), \( Q2(8, 0) \)

Ambdues combinacions satisfan que el perímetre de T2 és \( 24 \) (doble de T1) i l’àrea és \( 24 \) (quatre vegades la de T1).