Distribució Equitativa de Dependents als Supermercats A, B i C

Una empresa d’alimentació disposa de tres supermercats A, B i C, on en total treballen 48 dependents. Es vol reagrupar el personal de manera que a cada supermercat treballi el mateix nombre de gent. Per això, es fan els canvis següents:

• Del supermercat A es passen al B tantes persones com hi ha en aquest segon.
• Després, del B es passen al C tantes dependents com hi ha en aquest últim.
• Finalment, del C es passa a l’A tanta gent com hi ha en aquest.

Calcula quanta gent treballava inicialment a cada supermercat.

Anem a resoldre el problema pas a pas. Tenim tres supermercats, A, B i C, amb un total de 48 dependents. Inicialment, A té $a$ dependents, B té $b$ dependents i C té $c$ dependents. Sabem que:

$$a + b + c = 48 \quad (1).$$

Després d’una sèrie de trasllats, es vol que tots els supermercats tinguin el mateix nombre de dependents. Com que hi ha 48 dependents en total, si es distribueixen equitativament entre 3 supermercats, cada un hauria de tenir:

$$\frac{48}{3} = 16 \text{ dependents.}$$

Ara analitzem els trasllats descrits:

1. Del supermercat A es passen al B tantes persones com hi ha en aquest segon:
   Inicialment, B té $b$ dependents. Per tant, A transfereix $b$ dependents a B.

• A queda amb $a – b$.
• B passa a tenir $b + b = 2b$.

1. Després, del B es passen al C tantes dependents com hi ha en aquest últim:
   Inicialment, C té $c$ dependents. Després del primer pas, B té $2b$, i ara B transfereix $c$ dependents a C.

• B queda amb $2b – c$.
• C passa a tenir $c + c = 2c$.

1. Finalment, del C es passa a l’A tanta gent com hi ha en aquest:
   Després del segon pas, A té $a – b$. Per tant, C transfereix $a – b$ dependents a A.

• C queda amb $2c – (a – b) = 2c – a + b$.
• A passa a tenir $(a – b) + (a – b) = 2(a – b)$.

Després d’aquests trasllats, els tres supermercats han de tenir el mateix nombre de dependents, i aquest nombre ha de ser 16 (perquè $48 \div 3 = 16$). Així, establim les equacions segons el nombre final de dependents en cada supermercat:

• A: $2(a – b) = 16$.
• B: $2b – c = 16$.
• C: $2c – a + b = 16$.

Aquestes equacions, juntament amb la condició inicial $a + b + c = 48$, ens donen el següent sistema:

$$\begin{cases}
2(a – b) = 16, \\
2b – c = 16, \\
2c – a + b = 16, \\
a + b + c = 48.
\end{cases}$$

Simplifiquem les primeres tres equacions:

1. $2(a – b) = 16 \implies a – b = 8 \implies a = b + 8 \quad (2)$.
2. $2b – c = 16 \implies c = 2b – 16 \quad (3)$.
3. $2c – a + b = 16 \quad (4)$.

Substituïm $a = b + 8$ (de l’equació 2) i $c = 2b – 16$ (de l’equació 3) a les altres equacions per resoldre el sistema.

Substitució a l’equació 4:

$$2(2b – 16) – (b + 8) + b = 16.$$

Simplifiquem:

$$4b – 32 – b – 8 + b = 16 \implies 4b – b + b – 32 – 8 = 16 \implies 4b – 40 = 16 \implies 4b = 56 \implies b = 14.$$

Ara que tenim $b = 14$, calculem $a$ i $c$:

• De l’equació (2): $a = b + 8 = 14 + 8 = 22$.
• De l’equació (3): $c = 2b – 16 = 2 \cdot 14 – 16 = 28 – 16 = 12$.

Substituïm a l’equació inicial (1) per verificar:

$$a + b + c = 22 + 14 + 12 = 48.$$

Coincideix amb la condició inicial, per la qual cosa els valors són correctes.

Verifiquem els totals finals després dels trasllats:

• A: $2(a – b) = 2(22 – 14) = 2 \cdot 8 = 16$.
• B: $2b – c = 2 \cdot 14 – 12 = 28 – 12 = 16$.
• C: $2c – a + b = 2 \cdot 12 – 22 + 14 = 24 – 22 + 14 = 16$.

Tots els supermercats tenen 16 dependents després dels trasllats, com s’esperava.

Resposta final

Les quantitats inicials de dependents són:

$$\boxed{\text{A: 22, B: 14, C: 12}}$$