Càlcul del Nombre Mínim de Contractes per a un Interval de Confiança del 95% en la Durada Mitjana

En una determinada comunitat autònoma, se sap que la desviació típica del nombre de dies que dura un contracte temporal és de $57$ dies. Determineu el nombre mínim de contractes en què s’ha de mirar la seva durada perquè l’interval, amb un nivell de confiança del $95\%$, que dóna la durada mitjana d’un contracte d’aquest tipus tingui una amplitud no superior a $10$ dies. Expliqueu els passos realitzats per obtenir el resultat.

Dades proporcionades:

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 57 dies

• Amplitud de l’interval ≤ 10 dies, per tant, el marge d’error (\( E \)) ≤ \( \frac{10}{2} = 5 \) dies

• Nivell de confiança = 95%, per tant, \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \)

• Valor crític (\( z_c \)): Com que \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \), tenim \( P(z \leq z_c) = 0.975 \), i per taules de la distribució normal estàndard, \( z_c = 1.96 \).

Pas 1: Fórmula per a la mida de la mostra: Per determinar el nombre mínim de contractes (\( n \)), utilitzem la fórmula del marge d’error:\[E = z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Aïllem \( \sqrt{n} \):\[\sqrt{n} = \frac{z_c \cdot \sigma}{E}\]I després elevem al quadrat per obtenir \( n \):\[n = \left( \frac{z_c \cdot \sigma}{E} \right)^2\]

Pas 2: Substituir els valors: Substituïm \( z_c = 1.96 \), \( \sigma = 57 \), i \( E = 5 \):\[\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 57}{5}\]\[\sqrt{n} = \frac{111.72}{5} = 22.344\]\[n = (22.344)^2 \approx 499.25\]

Pas 3: Interpretació del resultat: Com que la mida de la mostra ha de ser un nombre enter i hem de garantir que el marge d’error no superi els 5 dies, arrodonim cap amunt al següent nombre enter. Per tant, \( n = 500 \).

Solució final: El nombre mínim de contractes que s’han de mirar és 500 per assegurar que l’interval de confiança del 95% per a la durada mitjana tingui una amplitud no superior a 10 dies (marge d’error ≤ 5 dies).