Interval de Confiança del 95% per a la Despesa Mitjana en Medicaments

En una gran ciutat s’ha preguntat a $625$ persones la despesa efectuada en medicaments l’any passat, obtenint-se una despesa mitjana de $75$ €. Se sap que la desviació típica d’aquesta variable és de $50$. Calculeu l’interval que dóna la despesa mitjana amb un nivell de confiança del $95\%$. Expliqueu els passos realitzats per obtenir el resultat.

Dades proporcionades:

• Mitjana mostral (\( \bar{x} \)) = 75 €

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 50 €

• Mida de la mostra (\( n \)) = 625 persones

• Nivell de confiança = 95%, per tant, \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \)

• Valor crític (\( z_c \)): Com que \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \), tenim \( P(z \leq z_c) = 0.975 \), i per taules de la distribució normal estàndard, \( z_c = 1.96 \).

Pas 1: Calcular l’error estàndard: L’error estàndard es defineix com:\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Substituïm els valors:\[\sqrt{n} = \sqrt{625} = 25\]\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{50}{25} = 2\]

Pas 2: Calcular el marge d’error: El marge d’error es calcula multiplicant el valor crític (\( z_c \)) per l’error estàndard:\[z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot 2 = 3.92\]

Pas 3: Determinar l’interval de confiança: Apliquem la fórmula de l’interval de confiança:\[\bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 75 – 3.92 = 71.08\]\[\bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 75 + 3.92 = 78.92\]Per tant, l’interval de confiança és:\[(71.08, 78.92)\]

Solució final: La despesa mitjana en medicaments estarà, amb un nivell de confiança del 95%, entre 71,08 € i 78,92 €.