Interval de Confiança del 95% per a la Mitjana de Tones Descarregades Diàriament

En un gran supermercat s’ha obtingut que el nombre mitjà de tones descarregades diàriament en els últims $100$ dies ha estat de $10$. Determineu l’interval, amb un nivell de confiança del $95\%$, en què estarà la mitjana si la desviació típica és de $6$. Expliqueu els passos realitzats per obtenir el resultat.

Dades proporcionades:

• Mitjana mostral (\( \bar{x} \)) = 10 tones

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 6 tones

• Mida de la mostra (\( n \)) = 100 dies

• Nivell de confiança = 95%, per tant, \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \)

• Valor crític (\( z_c \)): Com que \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \), tenim \( P(z \leq z_c) = 0.975 \), i per taules de la distribució normal estàndard, \( z_c = 1.96 \).

Pas 1: Calcular l’error estàndard: L’error estàndard es defineix com:\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Substituïm els valors:\[\sqrt{n} = \sqrt{100} = 10\]\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{6}{10} = 0.6\]

Pas 2: Calcular el marge d’error: El marge d’error es calcula multiplicant el valor crític (\( z_c \)) per l’error estàndard:\[z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot 0.6 = 1.176\]

Pas 3: Determinar l’interval de confiança: Apliquem la fórmula de l’interval de confiança:\[\bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10 – 1.176 = 8.824\]\[\bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10 + 1.176 = 11.176\]Per tant, l’interval de confiança és:\[(8.824, 11.176)\]

Solució final: La mitjana del nombre de tones descarregades diàriament estarà, amb un nivell de confiança del 95%, entre 8.824 i 11.176 tones diàries.