Mida Mínima de Mostra per a l’Ús del Transport Públic amb 95% de Confiança

El nombre mitjà de vegades que una persona d’una determinada ciutat utilitza mensualment el transport públic té una desviació típica de $20$. Determineu el nombre mínim de persones que s’han d’escollir per obtenir un interval en què estarà la mitjana, amb un nivell de confiança del $95\%$ i amb un radi no superior a $1,4$. Expliqueu els passos realitzats per obtenir el resultat.

Dades proporcionades:

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 20- Marge d’error (\( E \)) ≤ 1,4- Nivell de confiança = 95%, per tant, \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \)

• Valor crític (\( z_c \)): Com que \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \), tenim \( P(z \leq z_c) = 0.975 \), i per taules de la distribució normal estàndard, \( z_c = 1.96 \).

Pas 1: Fórmula per a la mida de la mostra: Per determinar el nombre mínim de persones (\( n \)), utilitzem la fórmula del marge d’error:\[E = z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Aïllem \( \sqrt{n} \):\[\sqrt{n} = \frac{z_c \cdot \sigma}{E}\]I després elevem al quadrat per obtenir \( n \):\[n = \left( \frac{z_c \cdot \sigma}{E} \right)^2\]

Pas 2: Substituir els valors: Substituïm \( z_c = 1.96 \), \( \sigma = 20 \), i \( E = 1.4 \):\[\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 20}{1.4}\]\[\sqrt{n} = \frac{39.2}{1.4} \approx 28\]\[n = 28^2 = 784\]

Pas 3: Interpretació del resultat: Per garantir que el marge d’error sigui no superior a 1,4 amb un nivell de confiança del 95%, cal una mida mínima de la mostra de 784 persones.

Solució final: El nombre mínim de persones que s’han d’escollir és 784 per assegurar que l’interval de confiança del 95% per a la mitjana tingui un radi no superior a 1,4.