Càlcul de la Mitjana i Mida Mostral per a la Vida Mitjana d’una Bombeta

La vida mitjana d’un determinat model de bombeta segueix una distribució normal amb una desviació típica de $60$ dies. Escollida una mostra i amb un nivell de confiança del $98\%$, s’obté l’interval $(388.68, 407.32)$ per a la vida mitjana. Calculeu la mitjana i la mida de la mostra escollida. Detalleu els passos realitzats per obtenir els resultats.

Dades proporcionades:

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 60 dies

• Interval de confiança = (388.68, 407.32)

• Nivell de confiança = 98%, per tant, \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.98 \)

• Valor crític (\( z_c \)): Com que \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.98 \),

tenim \( P(z \leq z_c) = 0.99 \), i per taules de la distribució normal estàndard, \( z_c \approx 2.33 \).

Pas 1: Calcular la mitjana mostral (\( \bar{x} \)): L’interval de confiança té la forma:\[\left( \bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]La mitjana mostral es troba al punt mitjà de l’interval:\[\bar{x} = \frac{388.68 + 407.32}{2} = \frac{796}{2} = 398\]Per tant, la mitjana mostral és 398 dies.

Pas 2: Calcular el marge d’error (\( E \)): El marge d’error es pot obtenir restant la mitjana al límit superior de l’interval:\[E = 407.32 – 398 = 9.32\]

Pas 3: Calcular la mida de la mostra (\( n \)): El marge d’error també es defineix com:\[E = z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Substituïm els valors coneguts (\( E = 9.32 \), \( z_c = 2.33 \), \( \sigma = 60 \)):\[9.32 = 2.33 \cdot \frac{60}{\sqrt{n}}\]Aïllem \( \sqrt{n} \):\[\frac{60}{\sqrt{n}} = \frac{9.32}{2.33}\]\[\frac{60}{\sqrt{n}} = 4\]\[\sqrt{n} = \frac{60}{4} = 15\]\[n = 15^2 = 225\]Per tant, la mida de la mostra és 225.

Solució final:

• La mitjana mostral és 398 dies.

• La mida de la mostra és 225 per a aquest interval de confiança amb un nivell de confiança del $98\%$.