Càlcul de l’Interval de Confiança per a la Mitjana d’Estatura dels Joves a Aragó amb un Nivell de Confiança del 99%

Per determinar l’interval de confiança del $99\%$ per a la mitjana de l’estatura dels $625$ joves seleccionats a Aragó, amb una mitjana mostral de $174$ cm i una desviació típica de $10$ cm, seguim aquests passos:

Dades proporcionades:

• Mitjana mostral (\( \bar{x} \)) = 174 cm- Desviació típica (\( \sigma \)) = 10 cm

• Mida de la mostra (\( n \)) = 625

• Nivell de confiança = 99%, per tant, \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.99 \)

• Valor crític (\( z_c \)) per a un nivell de confiança del 99%:

• \( P(z \leq z_c) = 0.995 \), per tant, \( z_c = 2.575 \) (obtingut de taules de distribució normal estàndard).

Fórmula de l’interval de confiança: L’interval de confiança per a la mitjana poblacional (\( \mu \)) es calcula amb la fórmula:\[\left( \bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]

Pas 1: Calcular l’error estàndard: L’error estàndard es defineix com:\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Substituïm els valors:\[\sqrt{n} = \sqrt{625} = 25\]\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{25} = 0.4\]

Pas 2: Calcular el marge d’error: El marge d’error es calcula multiplicant el valor crític (\( z_c \)) per l’error estàndard:\[z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot 0.4 = 1.03\]

Pas 3: Determinar l’interval de confiança: Apliquem la fórmula de l’interval:\[\bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 174 – 1.03 = 172.97\]\[\bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 174 + 1.03 = 175.03\]Per tant, l’interval de confiança és:\[(172.97, 175.03)\]

Solució final: La mitjana de l’estatura dels joves d’Aragó estarà, amb un nivell de confiança del 99%, entre 172.97 cm i 175.03 cm. Nota: Hi ha una discrepància amb el resultat proporcionat (173.97, 176.03), que sembla basar-se en una mitjana mostral de 175 cm en lloc de 174 cm. Si la mitjana fos 175 cm, els càlculs serien:\[175 – 1.03 = 173.97 \quad \text{i} \quad 175 + 1.03 = 176.03\]Això coincideix amb el resultat donat. Per tant, si la mitjana mostral és 175 cm, l’interval correcte seria (173.97, 176.03). Si es confirma que la mitjana és 174 cm, l’interval correcte és (172.97, 175.03).