Càlcul de l’interval de confiança per al pes mitjà

El pes mitjà de $700$ adults d’una determinada població és de $80$ kg. Determineu l’interval, amb un nivell de confiança del $98\%$, en el qual estarà la mitjana si la desviació típica és igual a $15$. Detalleu els passos realitzats per obtenir els resultats.

$\textbf{Dades proporcionades:}$

• Mitjana de la mostra (\( \bar{x} \)) = 80 kg

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 15 kg

• Mida de la mostra (\( n \)) = 700

• Nivell de confiança = 98\% \implies \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.98 \)

• Valor crític (\( z_c \)) \(\approx 2.33\) (corresponent a \( P(z \leq z_c) = 0.99 \))

$\textbf{Passos per al càlcul:}$

• $\textbf{Calcular l’error estàndard:}$ \[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{700}} \approx \frac{15}{26.46} \approx 0.567 \]

– \textbf{Calcular el marge d’error:} \[ z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.33 \cdot 0.567 \approx 1.32 \]

• $\textbf{Determinar els límits de l’interval de confiança:}$ \[ \bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 80 – 1.32 = 78.68 \] \[ \bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 80 + 1.32 = 81.32 \]

\textbf{Resultat:} L’interval de confiança per a la mitjana del pes és:\[(78.68 \, \text{kg}, 81.32 \, \text{kg})\]amb un nivell de confiança del $98\%$.

$\textbf{Conclusió:}$ Podem afirmar amb un $98\%$ de confiança que la mitjana del pes de la població es troba entre $78.68$ kg i $81.32$ kg.