Càlcul de la mitjana i la mida de la mostra per a la quantitat d’hemoglobina

La quantitat d’hemoglobina en sang de l’ésser humà segueix una distribució normal amb una desviació típica de $2$ g/dL. Escollida una mostra i amb un nivell de confiança del $98\%$, s’obté l’interval de confiança $(13, 15)$ per a la quantitat mitjana d’hemoglobina en sang. Calculeu la mitjana i la mida de la mostra poblacional escollida. Detalleu els passos realitzats per obtenir els resultats.

$\textbf{Dades proporcionades:}$

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 2 g/dL

• Interval de confiança = (13, 15)

• Nivell de confiança = 98\% \implies \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.98 \)

• Valor crític (\( z_c \)) \(\approx 2.33\) (corresponent a \( P(z \leq z_c) = 0.99 \))

$\textbf{Passos per al càlcul:}$

• $\textbf{Calcular la mitjana (\( \bar{x} \)):}$ \[ \bar{x} = \frac{13 + 15}{2} = 14 \, \text{g/dL} \]

• $\textbf{Calcular l’error màxim (\( E \)):}$ \[ E = 15 – 14 = 1 \, \text{g/dL} \]

• $\textbf{Calcular la mida de la mostra (\( n \)):}$ \[ E = z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies 1 = 2.33 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \] Aïllem \( \sqrt{n} \): \[ \sqrt{n} = \frac{2.33 \cdot 2}{1} = 4.66 \] Elevem al quadrat: \[ n = (4.66)^2 = 21.7156 \approx 22 \]

$\textbf{Resultat:}$

• La mitjana és \( \bar{x} = 14 \, \text{g/dL} \).

• La mida de la mostra és \( n = 22 \).

$\textbf{Conclusió:}$ Amb un nivell de confiança del $98\%$, la mitjana de la quantitat d’hemoglobina en sang és de $14$ g/dL, i la mida de la mostra necessària per obtenir l’interval de confiança $(13, 15)$ és de $22$ persones.