Càlcul de l’Interval de Confiança per al Consum Bimestral d’Energia Elèctrica amb un Nivell de Confiança del 97%

El consum bimestral d’energia elèctrica d’una població de $100$ persones es distribueix normalment amb una mitjana de $59$ kWh i una desviació típica de $6$ kWh. Calculeu l’interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança del $97\%$. Detalleu els passos realitzats per obtenir els resultats.

Dades proporcionades:

• Mitjana de la mostra (\( \bar{x} \)) = 59 kWh

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 6 kWh- Mida de la mostra (\( n \)) = 100

• Nivell de confiança = 97% → \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.97 \)

• Valor crític (\( z_c \)) ≈ 2.17 (corresponent a \( P(z \leq z_c) = 0.985 \))

Fórmula de l’interval de confiança: L’interval de confiança per a la mitjana d’una població amb distribució normal es calcula amb la fórmula:\[\left( \bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]on:- \( \bar{x} \) és la mitjana de la mostra,- \( z_c \) és el valor crític de la distribució normal estàndard,- \( \sigma \) és la desviació típica,- \( n \) és la mida de la mostra.

Passos per al càlcul:

1. Calcular l’error estàndard: \[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0.6 \]

2. Calcular el marge d’error: \[ z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot 0.6 = 1.302 \]

3. Determinar els límits de l’interval de confiança:

• Límit inferior: \[ \bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 59 – 1.302 = 57.698 \]

• Límit superior: \[ \bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 59 + 1.302 = 60.302 \]

Resultat: L’interval de confiança per a la mitjana del consum bimestral d’energia elèctrica és:\[(57.698 \, \text{kWh}, 60.302 \, \text{kWh})\]amb un nivell de confiança del 97%.

Conclusió: Podem afirmar amb un 97% de confiança que la mitjana del consum bimestral d’energia elèctrica de la població es troba entre 57.698 kWh i 60.302 kWh.