Càlcul de la Mitjana i la Mida de la Mostra per a un Interval de Confiança del 98% en la Temperatura Estival

La temperatura durant els mesos d’estiu en una ciutat segueix una distribució normal amb una desviació típica de $5^\circ$. Escollida una mostra i amb un nivell de confiança del $98\%$, s’obté l’interval $(25^\circ, 30^\circ)$. Calcula la mitjana i la mida de la mostra escollida. Detalla els passos realitzats per obtenir els resultats.

Dades:

• Desviació típica: $\sigma= 5$º

• Interval de confiança: (25º, 30º)

• Nivell de confiança: \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.98 \)

1. Càlcul de la mitjana ($\bar{x}$): La mitjana es troba al punt mitjà de l’interval de confiança: \[ \bar{x} = \frac{25 + 30}{2} = 27.5º \]

2. Càlcul del marge d’error (E): El marge d’error es calcula com la diferència entre el límit superior de l’interval i la mitjana: \[ E = 30 – 27.5 = 2.5º \]

3. Determinació del valor crític (z_c): Per un nivell de confiança del 98%, la probabilitat acumulada fins a z_c és: \[ P(z ≤ z_c) = \frac{1 + 0.98}{2} = 0.99 \] Consultant la taula de la distribució normal estàndard, trobem que per \( P(z ≤ z_c) = 0.99 \), el valor crític és aproximadament: \[ z_c ≈ 2.33 \]

4. Càlcul de la mida de la mostra (n): La fórmula del marge d’error en un interval de confiança per a la mitjana és: \[ E = z_c \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}} \] Substituint els valors coneguts (\( E = 2.5 \), \( z_c = 2.33 \), \( σ = 5 \)): \[ 2.5 = 2.33 \cdot \frac{5}{\sqrt{n}} \] Aïllem \(\sqrt{n}\): \[ \sqrt{n} = \frac{2.33 \cdot 5}{2.5} = \frac{11.65}{2.5} = 4.66 \] Elevem al quadrat per trobar \( n \): \[ n = (4.66)^2 = 21.7156 \] Arrodonint al nombre enter més proper (ja que la mida de la mostra ha de ser un nombre enter): \[ n ≈ 22 \]

Solució: La mitjana és de 27.5º i la mida de la mostra per a aquest interval de confiança és n = 22.