Càlcul d’Interval de Confiança i Mida de Mostra per l’Edat Mitjana

En una mostra aleatòria de $256$ individus s’ha obtingut una edat mitjana de $17.4$ anys. Se sap que la desviació típica de la població normal de la qual procedeix aquesta mostra és de $2$ anys. a) Calculau un interval de confiança del $95\%$ per estimar l’edat mitjana de la població. b) Calculau la mida mínima de la mostra que s’ha de prendre perquè en estimar l’edat mitjana d’aquesta població amb un nivell de confiança del $92\%$, l’error comès sigui inferior a $0.5$ anys.

a) Interval de confiança del $95\%$ per estimar l’edat mitjana de la població

Per calcular l’interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana poblacional ($\mu$), utilitzem la fórmula:

$$IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Dades:

• Mitjana mostral ($\bar{x}$) $= 17.4$ anys
• Desviació típica poblacional ($\sigma$) $= 2$ anys
• Mida de la mostra ($n$) $= 256$
• Nivell de confiança $= 95\%$, per tant, $\alpha = 0.05$, i $z_{\alpha/2} = z_{0.025} \approx 1.96$.

Pas 1: Error estàndard:

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{256}} = \frac{2}{16} = 0.125$$

Pas 2: Marge d’error:

$$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot 0.125 = 0.245$$

Pas 3: Interval de confiança:

$$IC = 17.4 \pm 0.245 = [17.4 – 0.245, 17.4 + 0.245] = [17.155, 17.645]$$

Resposta a): L’interval de confiança del $95\%$ és $\textbf{[17.155, 17.645]}$ anys.

b) Mida mínima de la mostra per un error inferior a $0.5$ anys amb un nivell de confiança del $92\%$

Utilitzem la fórmula per a la mida mínima de la mostra:

$$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$

Dades:

• Desviació típica poblacional ($\sigma$) $= 2$ anys
• Error màxim ($E$) $= 0.5$ anys
• Nivell de confiança $= 92\%$, per tant, $\alpha = 0.08$, i $z_{\alpha/2} = z_{0.04} \approx 1.75$ (probabilitat acumulada de $0.96$).

Pas 1: Substituïm:

$$n = \left( \frac{1.75 \cdot 2}{0.5} \right)^2 = \left( \frac{3.5}{0.5} \right)^2 = 7^2 = 49$$

Resposta b): La mida mínima de la mostra és $\textbf{49}$ individus.

Resum de respostes

• a) Interval de confiança del 95\%: \textbf{[17.155, 17.645]} anys.
• b) Mida mínima de la mostra: \textbf{49} individus.