Anàlisi de Probabilitats sobre l’Opinió de Restricció de Vehicles en una Població Urbana

Donada una població de $15.000$ persones, amb $5.000$ residents al centre (C) i $10.000$ a la perifèria (P), se sap que el $95\%$ dels del centre ($P(F|C) = 0.95$) i el $20\%$ dels de la perifèria ($P(F|P) = 0.20$) opinen a favor de restringir l’accés de vehicles privats al centre urbà (F). Es tria una persona a l’atzar.

a) Quina és la probabilitat que estigui a favor de restringir l’accés de vehicles privats al centre de la ciutat?

Calculem $P(F)$ amb la llei de la probabilitat total:

$$P(F) = P(F|C) \cdot P(C) + P(F|P) \cdot P(P)$$

On:

• $P(C) = \frac{5.000}{15.000} = \frac{1}{3}$
• $P(P) = \frac{10.000}{15.000} = \frac{2}{3}$

Substituïm:

$$P(F) = (0.95 \cdot \frac{1}{3}) + (0.20 \cdot \frac{2}{3}) = \frac{0.95}{3} + \frac{0.40}{3} = \frac{1.35}{3} = 0.45$$

Resposta: La probabilitat és $0.45$ (45%).

b) Quina és la probabilitat que resideixi al centre i estigui a favor de la restricció d’accés?

Calculem $P(C \cap F)$:

$$P(C \cap F) = P(F|C) \cdot P(C) = 0.95 \cdot \frac{1}{3} = \frac{0.95}{3} \approx 0.3167$$

Resposta: La probabilitat és $0.3167$ (31.67%).

c) Si la persona triada opina que s’hauria de restringir l’accés, quina és la probabilitat que resideixi al centre?

Calculem $P(C|F)$ amb la fórmula de Bayes:

$$P(C|F) = \frac{P(C \cap F)}{P(F)}$$

Substituïm els valors obtinguts:

• $P(C \cap F) = \frac{0.95}{3}$
• $P(F) = 0.45 = \frac{1.35}{3}$

$$P(C|F) = \frac{\frac{0.95}{3}}{\frac{1.35}{3}} = \frac{0.95}{1.35} = \frac{95}{135} = \frac{19}{27} \approx 0.7037$$

Resposta: La probabilitat és $19/27$ o aproximadament $0.7037$ (70.37%).

Resum:

• a) $0.45$ (45%)
• b) $0.3167$ (31.67%)
• c) $19/27$ ≈ $0.7037$ (70.37%)