Problema de probabilitats. Al·lots i el català

En una classe de segon de batxillerat, el $60\%$ dels alumnes són al·lotes, el $40\%$ aproven Llengua Castellana i el $20\%$ són al·lotes que aproven Llengua Castellana. Es demana: a) Quina és la probabilitat de trobar una persona que sigui al·lot i suspengui Llengua Castellana? b) Quina és la probabilitat que un al·lot suspengui Llengua Castellana? c) Si un alumne ha aprovat Llengua Castellana, quina és la probabilitat que sigui un al·lot?

Per resoldre el problema, suposem un total de $100$ alumnes per simplificar els càlculs. Definim els esdeveniments:

• $A$: Ser al·lota $\Rightarrow P(A) = 0.6$.

• $L$: Aprovar Llengua Castellana $\Rightarrow P(L) = 0.4$.

• $A \cap L$: Ser al·lota i aprovar Llengua Castellana $\Rightarrow P(A \cap L) = 0.2$.

• $\neg A$: Ser al·lot $\Rightarrow P(\neg A) = 1 – P(A) = 0.4$.

• $\neg L$: Suspendre Llengua Castellana $\Rightarrow P(\neg L) = 1 – P(L) = 0.6$.

a) Probabilitat de trobar una persona que sigui al·lot i suspengui Llengua Castellana ($P(\neg A \cap \neg L)$). Primer, calculem els alumnes que aproven Llengua Castellana i són al·lots:

• Total d’alumnes que aproven Llengua Castellana: 40.

• Al·lotes que aproven: 20.

• Al·lots que aproven: $40 – 20 = 20 \Rightarrow P(\neg A \cap L) = \frac{20}{100} = 0.2$.

Ara, calculem els al·lots que suspenen:

• Total d’al·lots: 40.

• Al·lots que aproven: 20.

• Al·lots que suspenen: $40 – 20 = 20 \Rightarrow P(\neg A \cap \neg L) = \frac{20}{100} = 0.2$.

Resposta a): La probabilitat que una persona sigui al·lot i suspengui Llengua Castellana és $\textbf{0.2}$ o $\textbf{20%}$.

b) Probabilitat que un al·lot suspengui Llengua Castellana ($P(\neg L | \neg A)$) Aquesta és una probabilitat condicional:\[P(\neg L | \neg A) = \frac{P(\neg A \cap \neg L)}{P(\neg A)}\]Substituïm:

• $P(\neg A \cap \neg L) = 0.2$ (del punt a).

• $P(\neg A) = 0.4$.\end{itemize}\[P(\neg L | \neg A) = \frac{0.2}{0.4} = 0.5\]

Resposta b): La probabilitat que un al·lot suspengui Llengua Castellana és $\textbf{0.5}$ o $\textbf{50%}$.

c) Probabilitat que un alumne que ha aprovat Llengua Castellana sigui al·lot ($P(\neg A | L)$). Aquesta és una probabilitat condicional:\[P(\neg A | L) = \frac{P(\neg A \cap L)}{P(L)}\]Substituïm:

• $P(\neg A \cap L) = 0.2$ (del punt a).

• $P(L) = 0.4$.

\[P(\neg A | L) = \frac{0.2}{0.4} = 0.5\]

Resposta c): La probabilitat que un alumne que ha aprovat Llengua Castellana sigui al·lot és $\textbf{0.5}$ o $\textbf{50%}$.

Resum de respostes:

• a) 0.2 ($20\%$)
• b) 0.5 ($50\%$)
• c) 0.5 ($50\%$)