Fàbrica d’automòbils

En una empresa de fabricació d’automòbils s’ha observat que el $2\%$ presenta algun defecte. Calculem la probabilitat que en una mostra aleatòria de $50$ automòbils s’hi trobin a tot estirar dos defectuosos.

Utilitzem una distribució binomial, ja que es tracta d’un experiment amb dos possibles resultats (defectuós o no defectuós) i les proves són independents.

Dades:

• Probabilitat de defecte: $p = 0,02$
• Probabilitat de no defecte: $q = 1 – p = 0,98$,
• Nombre d’automòbils: $n = 50$,
• Volem calcular: $P(X \leq 2)$, on $X$ és el nombre d’automòbils defectuosos.

La distribució binomial ens dona la probabilitat de tenir exactament $k$ defectes en $n$ proves:
\begin{equation}
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k},
\end{equation}
on
\begin{equation}
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
\end{equation}

Hem de calcular:
\begin{equation}
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).
\end{equation}

Pas 1: Calcular $P(X = 0)$}

\begin{equation}
P(X = 0) = \binom{50}{0} (0,02)^0 (0,98)^{50} = 1 \cdot 1 \cdot (0,98)^{50},
\end{equation}
\begin{equation}
(0,98)^{50} \approx 0,3642,
\end{equation}
\begin{equation}
P(X = 0) \approx 0,3642.
\end{equation}

Pas 2: Calcular $P(X = 1)$
\begin{equation}
P(X = 1) = \binom{50}{1} (0,02)^1 (0,98)^{49} = 50 \cdot 0,02 \cdot (0,98)^{49},
\end{equation}
\begin{equation}
(0,98)^{49} \approx 0,3716,
\end{equation}
\begin{equation}
P(X = 1) = 50 \cdot 0,02 \cdot 0,3716 \approx 0,3716.
\end{equation}

Pas 3: Calcular $P(X = 2)$
\begin{equation}
P(X = 2) = \binom{50}{2} (0,02)^2 (0,98)^{48} = \frac{50 \cdot 49}{2} \cdot (0,02)^2 \cdot (0,98)^{48},
\end{equation}
\begin{equation}
\binom{50}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225,
\end{equation}
\begin{equation}
(0,02)^2 = 0,0004,
\end{equation}
\begin{equation}
(0,98)^{48} \approx 0,3792,
\end{equation}
\begin{equation}
P(X = 2) = 1225 \cdot 0,0004 \cdot 0,3792 \approx 0,1858.
\end{equation}

Pas 4: Sumar les probabilitats
\begin{equation}
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0,3642 + 0,3716 + 0,1858 \approx 0,9216.
\end{equation}

Resposta final

La probabilitat que en una mostra de 50 automòbils hi hagi a tot estirar 2 defectuosos és aproximadament $\textbf{0,9216}$ (o $\textbf{92,16%}$).

Aproximació de Poisson

Com que $n = 50$ és gran i $p = 0,02$ és petit, podem utilitzar l’aproximació de Poisson, amb
\begin{equation}
\lambda = n \cdot p = 50 \cdot 0,02 = 1.
\end{equation}

La probabilitat amb Poisson és:
\begin{equation}
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},
\end{equation}
\begin{equation}
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = e^{-1} \left(1 + 1 + \frac{1}{2}\right) = e^{-1} \cdot 2,5 \approx 0,9197,
\end{equation}
que és molt propera al resultat obtingut amb la binomial, confirmant la validesa del càlcul.