Todennäköisyys, että enintään yksi viidestä opiskelijasta keskeyttää opintonsa

Espanjalaisista yliopisto-opiskelijoista yksi viidestä keskeyttää opintonsa. Valitaan satunnaisesti ja itsenäisesti 5 espanjalaista yliopisto-opiskelijaa.

a) Mikä on todennäköisyys, että yksi tai ei yksikään näistä opiskelijoista keskeyttää opintonsa? (Laskutoimituksia ei tarvitse viimeistellä, todennäköisyys voidaan jättää osoitetuksi, tarkentamalla ja kehittämällä määrittävät luvut ja peruslaskutoimitukset, mutta ilman lopullisia laskutoimituksia.)

b) Kumpi on todennäköisempää, että kaikki keskeyttävät opintonsa vai että kukaan ei tee niin? Perustele vastaus numeerisesti.

Kyseessä on binomijakauman $B(n,p)$ ongelma, jossa opintojen keskeyttämisen todennäköisyys on $p=\frac{1}{5}=0.2$.

Todennäköisyys, että 5 satunnaisesti valitusta opiskelijasta kukaan ei ole keskeyttänyt opintojaan, on:

$$P[x=0]={5\choose0}\cdot0.2^0\cdot(1-0.2)^{5-0}=1\cdot1\cdot0.8^5$$

Todennäköisyys, että 5 satunnaisesti valitusta opiskelijasta yksi on keskeyttänyt opintonsa, on:

$$P[x=1]={5\choose1}\cdot0.2^1\cdot(1-0.2)^{5-1}=5\cdot0.2\cdot0.8^4$$

Todennäköisyys, että yksi tai ei yksikään näistä opiskelijoista ole keskeyttänyt opintojaan, on:

$$P = 0.8^5 + 5 \cdot 0.2 \cdot 0.8^4$$

Todennäköisyys, että kukaan ei keskeytä opintojaan, on $0.8^5$. Todennäköisyys, että kaikki 5 opiskelijaa keskeyttävät opintonsa, on:

$$P[x=5]={5\choose5}\cdot0.2^5\cdot(1-0.2)^{5-5}=1\cdot0.2^5\cdot1=0.2^5$$

On todennäköisempää, että kukaan ei keskeytä opintojaan.