Probabilitat d’Estudiants de Biologia amb Títol

La probabilitat que un estudiant obtingui el títol de Llicenciat en Biologia és $0,3$. Calculem la probabilitat que, d’un grup de $7$ estudiants matriculats en primer curs: a) Cap dels set finalitzi la carrera. b) La finalitzin tots. c) Almenys dos acabin la carrera.

Així mateix, calculem la mitjana i la desviació típica del nombre d’alumnes que acaben la carrera. Utilitzem una distribució binomial $B(n,p)$, on $n=7$ (nombre d’estudiants) i $p=0,3$ (probabilitat d’èxit, és a dir, acabar la carrera). La probabilitat de no acabar la carrera és $q=1-p=0,7$. La fórmula de la probabilitat binomial és:

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k},$$

on $X$ és el nombre d’estudiants que acaben la carrera.

\subsection*{a) Cap dels set finalitza la carrera}

Calculem $P(X=0)$:

$$P(X=0) = \binom{7}{0} (0,3)^0 (0,7)^{7} = 1 \cdot 1 \cdot (0,7)^7.$$

Sabem que $(0,7)^7 \approx 0,0824$, per tant:

$$P(X=0) \approx 0,0824.$$

b) Tots finalitzen la carrera

Calculem $P(X=7)$:

$$P(X=7) = \binom{7}{7} (0,3)^7 (0,7)^{0} = 1 \cdot (0,3)^7 \cdot 1.$$

Sabem que $(0,3)^7 \approx 0,0002187$, per tant:

$$P(X=7) \approx 0,0002187.$$

c) Almenys dos acaben la carrera

Calculem $P(X \geq 2)$. És més senzill calcular el complement i després restar:

$$P(X \geq 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – [P(X=0) + P(X=1)].$$

Ja tenim $P(X=0) \approx 0,0824$. Ara calculem $P(X=1)$:

$$P(X=1) = \binom{7}{1} (0,3)^1 (0,7)^{6} = 7 \cdot 0,3 \cdot (0,7)^6.$$

Sabem que $(0,7)^6 \approx 0,1176$, per tant:

$$P(X=1) = 7 \cdot 0,3 \cdot 0,1176 \approx 0,2470.$$

Llavors:

$$P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0,0824 + 0,2470 = 0,3294,$$

$$P(X \geq 2) = 1 – 0,3294 = 0,6706.$$

Mitjana i desviació típica

La mitjana (o valor esperat) d’una distribució binomial és:

$$\mu = n \cdot p = 7 \cdot 0,3 = 2,1.$$

La desviació típica és:

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{7 \cdot 0,3 \cdot 0,7} = \sqrt{1,47} \approx 1,212.$$

Resum dels resultats

• a) Probabilitat que cap finalitzi: $P(X=0) \approx 0,0824$.
• b) Probabilitat que tots finalitzin: $P(X=7) \approx 0,0002187$.
• c) Probabilitat que almenys dos finalitzin: $P(X \geq 2) \approx 0,6706$.
• Mitjana: $\mu = 2,1$.
• Desviació típica: $\sigma \approx 1,212$.