Longitud i decibels de la vuvuzela

En el campionat mundial futbol de Sud-àfrica, la vuvuzela, un instrument musical d’animació molt sorollós, atesa la forma cònica i acampanada que té, va despertar una gran controvèrsia per les molèsties que causava. Aquest instrument produeix el so a una freqüència de 235 Hz i crea uns harmònics, és a dir, sons múltiples de la freqüència fonamental (235 Hz), d’entre 470 Hz i 1 645 Hz de freqüència. La vuvuzela és molt irritant, perquè els harmònics amb freqüències més altes són els més sensibles per a l’oïda humana. Nota: Considereu que el tub sonor és obert pels dos cantons.

1. Amb les dades anteriors, calculeu la longitud aproximada d’una vuvuzela.
2. Un espectador es troba a 1 m d’una vuvuzela i percep 116 dB. Molest pel soroll, s’allunya fins a una distància de 50 m. Quants decibels percep, aleshores?

La vuvuzela té el tub obert pels dos cantons. La freqüència fonamental és:
$$\nu_1 = 235 \, \text{Hz}.$$

La longitud de la vuvuzela es relaciona amb el to fonamental a través de la relació:
$$\nu_1 = \frac{v}{2L},$$
ja que correspon a l’expressió de la freqüència per a tubs oberts pels dos extrems.

Per tant, la longitud de la vuvuzela serà:
$$L = \frac{v}{2 \nu_1} = \frac{340}{2 \times 235} = 0,72 \, \text{m} = 72 \, \text{cm}.$$

Un espectador percep un nivell d’intensitat sonora de $116 \, \text{dB}$ quan està a $1 \, \text{m}$ de distància. Per tant, la intensitat sonora rebuda serà tal que:
$$\beta_1 = 10 \log \left( \frac{I_1}{I_0} \right).$$

Quan s’allunya a $50 \, \text{m}$, percep un nivell sonor tal que:
$$\beta_{50} = 10 \log \left( \frac{I_{50}}{I_0} \right).$$

Però les intensitats estan relacionades per l’expressió:
$$\frac{I_{50}}{I_1} = \frac{(1 \, \text{m})^2}{(50 \, \text{m})^2}$$

Per tant,
$$I_{50} = \frac{I_1}{(50)^2} = \frac{I_1}{2500}.$$

Si reemplacem aquesta expressió en l’equació de $\beta_{50}$, obtenim:
$$\beta_{50} = 10 \log \left( \frac{\frac{I_1}{2500}}{I_0} \right) = 10 \log \left( \frac{I_1}{I_0} \cdot \frac{1}{2500} \right) = 10 \log \left( \frac{I_1}{I_0} \right) – 10 \log(2500).$$

Així,
$$\beta_{50} = \beta_1 – 34 \, \text{dB} = 116 \, \text{dB} – 34 \, \text{dB} = 82 \, \text{dB}.$$