Pertinença a Mensa segons el quocient intel·lectual: aplicació de distribucions probabilístiques

L’organització Mensa requereix, per poder ser membre, tenir un quocient intel·lectual (QI) igual o superior a 130,9.

(a) Probabilitat que un individu pertanyi a Mensa

Variable aleatòria: $X \sim \mathcal{N}(100, 15)$
(on $\mathcal{N}$ indica una distribució normal amb mitjana $100$ i desviació estàndard $15$)

Calculem la probabilitat que un individu tingui un QI igual o superior a $130,9$: $$p = P(X \geq 130{,}9) = 1 – P\left(X < 130{,}9\right)$$

Tipifiquem: $$Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{130{,}9 – 100}{15} = 2{,}06 \Rightarrow p = 1 – P(Z < 2{,}06) \approx 1 – 0{,}9803 = 0{,}0197 \approx \boxed{0{,}02}$$

(b) Nombre de membres potencials de Mensa en una mostra de $50$ persones

Variable aleatòria: $X \sim B(n=50, p=0{,}02)$
(Model binomial: nombre de persones que poden pertànyer a Mensa)

Probabilitat que almenys dues persones puguin pertànyer a Mensa:

$$P(X \geq 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) =$$$$= 1 – \left( \binom{50}{0}(0{,}02)^0(0{,}98)^{50} + \binom{50}{1}(0{,}02)^1(0{,}98)^{49} \right)$$ $$= 1 – \left( (0{,}98)^{50} + 50 \cdot 0{,}02 \cdot (0{,}98)^{49} \right) \approx \boxed{0{,}2646}$$

Valor esperat (esperança matemàtica):

$$E(X) = np = 50 \cdot 0{,}02 = \boxed{1}$$

(c) Probabilitat que cap de dues persones escollides pertanyi a Mensa (mostra sense reemplaçament)

Variable aleatòria: $$X \sim HG(N = 100, D = 25, n = 2)$$
(Model hipergeomètric: tria de $2$ persones d’un total de $100$, on $25$ poden pertànyer a Mensa)

Volem: $$P(X = 0) = \frac{\binom{75}{2}}{\binom{100}{2}} = \frac{75 \cdot 74 / 2}{100 \cdot 99 / 2} = \frac{5550}{4950} \approx \boxed{0{,}5606}$$