Probabilitat que un nombre de l’1 al 4000 sigui múltiple de 2, 3 o 5

Escollim un nombre a l’atzar de l’$1$ al $4000$. Quina és la probabilitat que sigui múltiple de $2$ o múltiple de $3$ o múltiple de $5$?

Consideracions prèvies:

• Recordem que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$. D’aquí és relativament fàcil demostrar que:
  $$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A \cap B) – P(A \cap C) – P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C).$$
• També és bastant immediat comprovar que si, en $\Omega = {1, 2, \dots, 4000}$, anomenem:
• $D = { \text{múltiples de 2} }$,
• $T = { \text{múltiples de 3} }$,
• $C = { \text{múltiples de 5} }$, llavors:
  $$c(D) = 2000, \quad c(T) = 1333, \quad c(C) = 800,$$
  $$c(D \cap T) = 666, \quad c(D \cap C) = 400, \quad c(T \cap C) = 266, \quad c(D \cap T \cap C) = 133.$$

Consegüentment:
$$P(D \cup T \cup C) = \frac{2000 + 1333 + 800 – 666 – 400 – 266 + 133}{4000} = \frac{2934}{4000} = 0,7335.$$