Probabilitats de Conformitat de Comprimits d’Analgèsic amb Distribució Normal i Binomial

Els comprimits d’un analgèsic han de tenir, segons la normativa, entre $599$ i $601$ mg de principi actiu. Acceptem que la quantitat de principi actiu es distribueix normalment amb mitjana $600$ mg i desviació típica $0,5$ mg. Indiqueu la variable aleatòria i el model de distribució que feu servir a cada apartat. Arrodoniu els resultats a dos decimals. (a) Trobeu la probabilitat que un comprimit sigui conforme, és a dir, que compleixi la normativa. (b) Si examinem $10$ comprimits, quina és la probabilitat que almenys $9$ siguin conformes?

Solució:

(a) Considerem $X$ la variable aleatòria que indica la quantitat de principi actiu en un comprimit, $X \sim N(600, 0.5)$.
$$p = P(599 < X < 601) = P\left( \frac{599 – 600}{0,5} < \frac{X – 600}{0,5} < \frac{601 – 600}{0,5} \right) = P(-2 < Z < 2) =$$
$$= \Phi(2) – \Phi(-2) = \Phi(2) – (1 – \Phi(|-2|)) = 2\Phi(2) – 1 = 0,9544997 \approx 0,95.$$

(b) Considerem ( X ) la variable aleatòria que compta el nombre de comprimits conformes. $X \sim B(10, p)$, amb $p = 0,95$ (calculada a l’apartat anterior).
$$P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10) = \binom{10}{9} p^9 (1 – p) + \binom{10}{10} p^{10} (1 – p)^0 = 10(0,95)^9 (0,05) + (0,95)^{10} = 0,9138616$$