Probabilitat en processos d’inspecció de qualitat

Una fàbrica té dos operaris, A i B, que inspeccionen la qualitat dels productes, de manera que cada producte de la fàbrica és acceptat o rebutjat. La probabilitat que un producte sigui inspeccionat és de $0,32$ pel primer operari i de $0,68$ pel segon. El primer operari accepta el $81\%$ dels productes que inspecciona, i el segon un $90\%$.

(a) Quina és la probabilitat que una peça sigui rebutjada?

Siguem RR el conjunt de peces rebutjades. Donat que el primer operari accepta el 81% de les peces que inspecciona, tenim:

• $P(R|A) = 1 – 0{,}81 = 0{,}19$
• $P(R|B) = 1 – 0{,}90 = 0{,}10$

Llavors, la probabilitat total que una peça sigui rebutjada és: $$P(R) = P(R|A) \cdot P(A) + P(R|B) \cdot P(B) = (0{,}19)(0{,}32) + (0{,}10)(0{,}68) = 0{,}0608 + 0{,}068 = 0{,}1288$$

(b) Si un producte és rebutjat, quina és la probabilitat que hagi estat inspeccionat pel primer operari?

Utilitzem la fórmula de la probabilitat condicionada: $$P(A|R) = \frac{P(R \cap A)}{P(R)} = \frac{P(R|A) \cdot P(A)}{P(R)} = \frac{(0{,}19)(0{,}32)}{0{,}1288} = \frac{0{,}0608}{0{,}1288} \approx 0{,}472$$

(c) Si en un lot de $15$ productes, dels quals $5$ són rebutjats, quina és la probabilitat que, escollint-ne $3$ sense reemplaçament, tots tres siguin dels rebutjats?

Això és una probabilitat hipergeomètrica: $$P = \frac{\binom{5}{3}}{\binom{15}{3}} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{60}{2730} \approx 0{,}02198$$