Interval de Confiança del 95% per a la Despesa Mitjana Setmanal dels Joves

En una gran ciutat, la desviació típica de la despesa mitjana setmanal dels joves és de $6$ €. Escollits $100$ joves, la seva despesa mitjana setmanal és de $25$ €. Determineu l’interval de confiança del $95\%$ per a aquesta despesa mitjana, explicant els passos realitzats per obtenir el resultat.

Dades proporcionades:

• Mitjana mostral (\( \bar{x} \)) = 25 €

• Desviació típica (\( \sigma \)) = 6 €

• Mida de la mostra (\( n \)) = 100 joves

• Nivell de confiança = 95%, per tant, \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \)

• Valor crític (\( z_c \)): Com que \( P(-z_c \leq z \leq z_c) = 0.95 \), tenim \( P(z \leq z_c) = 0.975 \), i per taules de la distribució normal estàndard, \( z_c = 1.96 \).

Pas 1: Calcular l’error estàndard: L’error estàndard es defineix com:\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]Substituïm els valors:\[\sqrt{n} = \sqrt{100} = 10\]\[\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{6}{10} = 0.6\]

Pas 2: Calcular el marge d’error: El marge d’error es calcula multiplicant el valor crític (\( z_c \)) per l’error estàndard:\[z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot 0.6 = 1.176\]

Pas 3: Determinar l’interval de confiança: Apliquem la fórmula de l’interval de confiança:\[\bar{x} – z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 25 – 1.176 = 23.824\]\[\bar{x} + z_c \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 25 + 1.176 = 26.176\]Per tant, l’interval de confiança és:\[(23.824, 26.176)\]

Solució final: La despesa mitjana setmanal dels joves estarà, amb un nivell de confiança del 95%, entre 23,82 € i 26,18 €.